Физика, математика курс лекций для студентов технических университетов

Энергосберегающие технологии
Оборудование установок солнечного горячего водоснабжения
Схемы систем горячего водоснабжения
Геотермальная система теплохладоснабжения с тепловыми насосами
Комплексные геотермальные системы теплоснабжения
Проектирование ветроэнергетических установок
Уникальное изобретение в ветроэнергетике
Конструкция ветродвигателя
Расчет ветродвигательных установок
Проектирование биогазовых установок
Проектирование аккумуляторов теплоты
Приведем методику расчета для теплового аккумулятора
Установка солнечного горячего водоснабжения
Структурная схема гелиоустановки
Проектирование систем геотермального теплоснабжения
Закрытые системы геотермального теплоснабжения
Расчет и подбор отопительных приборов
Физика
Атомная физика
Ядерная физика
Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Выполнение лабораторных работ
Математика
Примеры решения типовых задач
по математике
Задача Коши
Метод Фурье для решения второй краевой задачи
Общее решение уравнения теплопроводности
Потенциал стационарного электрического тока
метод Пикара
Методом Эйлера
Метод итераций
Базис и разложение векторов
Определители 2-го и 3-го порядка
Аналитическая геометрия
Кривые второго порядка
Контрольная работа
Примеры решения типовых задач: матрицы
Решение систем линейных уравнений
Вычислить определитель матрицы

Оптическая физика

  • Применение интерференции света Явление интерференции обусловлено волновой природой света; его количественные закономерности зависят от длины волны l0. Поэтому это явление применяется для подтверждения волновой природы света и для измерения длин волн (интерференционная спектроскопия).
  • Разрешающая способность оптических приборов Используя даже идеальную оптическую систему (такую, для которой отсутствуют дефекты и аберрации), невозможно получить стигматическое изображение точечного источника, что объясняется волновой природой света. Изображение любой светящейся точки в монохроматическом свете представляет собой дифракционную картину, т. е. точечный источник отображается в виде центрального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами.
  • Электронная теория дисперсии света
  • Поляризационные призмы и поляроиды В основе работы поляризационных приспособлений, служащих для получения поляризованного света, лежит явление двойного лучепреломления. Наиболее часто для этого применяются призмы и поляроиды
  • Закон Кирхгофа Кирхгоф, опираясь на второй закон термодинамики и анализируя условия равновесного излучения в изолированной системе тел, установил количественную связь между спектральной плотностью энергетической светимости и спектральной поглощательной способностью тел. Отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела; оно является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры (закон Кирхгофа)
  • Применение фотоэффекта На явлении фотоэффекта основано действие фотоэлектронных приборов, получивших разнообразное применение в различных областях науки и техники. В настоящее время практически невозможно указать отрасли производства, где бы не использовались фотоэлементы — приемники излучения, работающие на основе фотоэффекта и преобразующие энергию излучения в электрическую.
  • Элементы квантовой механики Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества Французский ученый Луи де Бройль (1892—1987), осознавая существующую в природе симметрию и развивая представления о двойственной корпускулярно-волновой природе света, выдвинул в 1923 г. гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами.
  • Атомная физика

  • Элементы современной физики атомов и молекул Атом водорода в квантовой механике Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не+, двукратно ионизованного лития Li++ и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра
  • Периодическая система элементов Менделеева Принцип Паули, лежащий в основе систематики заполнения электронных состояний в атомах, позволяет объяснить Периодическую систему элементов Д. И. Менделеева (1869) — фундаментального закона природы, являющегося основой современной химии, атомной и ядерной физики.
  • Квантовая теория электропроводности металлов — теория электропроводности, основывающаяся на квантовой механике и квантовой статистике Ферми — Дирака, — пересмотрела вопрос об электропроводности металлов, рассмотренный в классической физике. Расчет электропроводности металлов, выполненный на основе этой теории, приводит к выражению для удельной электрической проводимости металла
  • Дефект массы и энергия связи ядра Исследования показывают, что атомные ядра являются устойчивыми образованиями. Это означает, что в ядре между нуклонами существует определенная связь. Массу ядер очень точно можно определить с помощью масс-спектрометров — измерительных приборов, разделяющих с помощью электрических и магнитных полей пучки заряженных частиц (обычно ионов) с разными удельными зарядами Q/m. Масс-спектрометрические измерения показали, что масса ядра меньше, чем сумма масс составляющих его нуклонов.
  • Радиоактивное излучение и его виды Французский физик А. Беккерель (1852—1908) в 1896 г. при изучении люминесценции солей урана случайно обнаружил самопроизвольное испускание ими излучения неизвестной природы, которое действовало на фотопластинку, ионизировало воздух, проникало сквозь тонкие металлические пластинки, вызывало люминесценцию ряда веществ. Продолжая исследование этого явления, супруги Кюри — Мария (1867—1934) и Пьер — обнаружили, что беккерелевское излучение свойственно не только урану, но и многим другим тяжелым элементам, таким, как торий и актиний. Они показали также, что урановая смоляная обманка (руда, из которой добывается металлический уран) испускает излучение, интенсивность которого во много раз превышает интенсивность излучения урана.
  • Реакция деления ядра К началу 40-х годов работами многих ученых—Э. Ферми (Италия), О. Гана (1879—1968), Ф. Штрассмана (1902—1980) (ФРГ), О. Фриша (1904—1979) (Великобритания), Л. Мейтнер (1878—1968) (Австрия), Г.Н. Флерова (р. 1913), К.Н. Петржака (Россия) — было доказано, что при облучении урана нейтронами образуются элементы из середины Периодической системы — лантан и барий. Этот результат положил начало ядерным реакциям совершенно нового типа — реакциям деления ядра, заключающимся в том, что тяжелое ядро под действием нейтронов, а как впоследствии оказалось и других частиц делится на несколько более легких ядер (осколков), чаще всего на два ядра, близких по массе.
  • Цепная реакция деления Испускаемые при делении ядер вторичные нейтроны могут вызвать новые акты деления, что делает возможным осуществление цепной реакции деления — ядерной реакции, в которой частицы, вызывающие реакцию, образуются как продукты этой реакции. Цепная реакция деления характеризуется коэффициентом размножения k нейтронов, который равен отношению числа нейтронов в данном поколении к их числу в предыдущем поколении. Необходимым условием для развития цепной реакции деления является требование k ³ 1.
  • Понятие о ядерной энергетике Большое значение в ядерной энергетике приобретает не только осуществление цепной реакции деления, но и управление ею. Устройства, в которых осуществляется и поддерживается управляемая цепная реакция деления, называются ядерными реакторами. Пуск первого реактора в мире осуществлен в Чикагском университете (1942) под руководством Э. Ферми, в России (и в Европе) — в Москве (1946) под руководством И. В. Курчатова.
  • Космическое излучение Развитие физики элементарных частиц тесно связано с изучением космического излучения — излучения, приходящего на Землю практически изотропно со всех направлений космического пространства. Измерения интенсивности космического излучения, проводимые методами, аналогичными методам регистрации радиоактивных излучений и частиц , приводят к выводу, что его интенсивность быстро растет с высотой, достигает максимума, затем уменьшается и с h »50 км остается практически постоянной
  • Классификация элементарных частиц. Кварки В многообразии элементарных частиц, известных к настоящему времени, обнаруживается более или менее стройная система классификации. Для ее пояснения в табл. 8 представлены основные характеристики рассмотренных выше элементарных частиц. Характеристики античастиц не приводятся, поскольку модули зарядов и странности, массы, спины, изотопические спины и время жизни частиц и их античастиц одинаковы, они различаются лишь знаками зарядов и странности, а также знаками других величии, характеризующих их электрические (а следовательно, и магнитные) свойства.
  • Физика полупроводников

  • Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать существование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, неодинаковым заполнением электронами разрешенных зон и, во-вторых, шириной запрещенных зон.
  • Выпрямление на контакте металл — полупроводник
  • Мощность, выделяемая в цепи переменного тока Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока
  • Механические гармонические колебания
  • Амплитуда и фаза вынужденных колебаний (механических и электромагнитных). Резонанс
  • Ультразвук и его применение По своей природе ультразвук представляет собой упругие волны, и в этом он не отличается от звука. Однако ультразвук, обладая высокими частотами (n>20 кГц) и, следовательно, малыми длинами волн, характеризуется особыми свойствами, что позволяет выделить его в отдельный класс явлений
  • Энергия электромагнитных волн. Импульс электромагнитного поля
  • Энергосберегающие технологии Развитие нетрадиционной энергетики

  • Оборудование в теплоэнергетике Сегодняшнее положение дел в России в области водоподготовки и очистки стоков можно смело охарактеризовать как первый этап революции. Революции в отношении к применяемым технологиям. Новая технология – мембранная ультрафильтрация, которая позволила миру отказаться от проверенных веками способов очистки воды.
  • Системы теплоснабжения
  • Перспективы применения тепловых насосов В системах теплоснабжения многих стран широкое распространение получили парокомпрессионные тепловые насосы (ТН) мощностью до 0,5 МВт с поршневыми компрессорами. Производятся также винтовые ТН установленной тепловой мощностью до 9 МВт и турбокомпрессорные – выше 9 МВт. В настоящее время в мире в системах теплоснабжения эксплуатируется более 18 млн крупных ТН. В наибольших масштабах они применяются в Швеции, где общая установленная тепловая мощность ТН превысила 1200 МВт, а самый крупный из них имеет мощность 320 МВт.
  • Региональный опыт энергосбережения. Опыт ввода в эксплуатацию ТЭЦ малой мощности на предприятии ОАО «Техуглерод» Энергосберегающие технологии являются главным направлением научно-технического прогресса на современном этапе развития экономики. Одним из принципиальных направлений энергосбережения является реконструкция паровых котельных в ТЭЦ малой мощности, которая основана на использовании перепада между давлением генерируемого пара и необходимым давлением пара для потребителей.
  • Повышение энергоэффективности теплосетей Около 80 % всех теплотрасс в России выполнено канальным способом с применением мягких отечественных материалов – прошивных матов из стекловаты или шлаковаты с гидроизоляцией (бризолом, изолом, полимерными лентами). Помимо того что перечисленные материалы в основном обладают недостаточными теплоизолирующими свойствами, они имеют весьма высокое влагопоглощение, что значительно уменьшает срок службы самой изоляции и увеличивает скорость коррозии металла труб.
  • Развитие нетрадиционной энергетики является важным направлением в системе энергоснабжения России
  • Ветроэнергетика в России В России существуют значительные нереализованные возможности в области ветроэнергетики. Фундаментальные исследования аэродинамики ветряка, осуществленные в ЦАГИ, заложили основу современных ветротурбин с высоким коэффициентом использования энергии ветра
  • Устройство ветроэлектрической установки Основные компоненты установок обоих типов: ветроколесо (ротор), преобразующее энергию набегающего ветрового потока в механическую энергию вращения оси турбины. Диаметр ветроколеса колеблется от нескольких метров до нескольких десятков метров. Обычно для соединенных с сетью ВЭУ частота вращения ветроколеса постоянна. Для автономных систем с выпрямителем и инвертором – обычно переменная;
  • Солнечная энергия Всего за три дня Солнце посылает на Землю столько энергии, сколько её содержится во всех разведанных запасах ископаемого топлива, а за 1 с -170 млрд Дж. Большую часть этой энергии рассеивает или поглощает атмосфера, особенно облака, и только треть её достигает земной поверхности. Вся энергия, испускаемая Солнцем, больше той её части, которую получает Земля, в 5 млрд раз. Но даже такая «ничтожная» величина в 1 600 раз больше энергии, которую дают все остальные источники, вместе взятые. Солнечная энергия, падающая на поверхность одного озера, эквивалентна мощности крупной электростанции.
  • Солнечные коллекторы и аккумуляторы теплоты. Основным конструктивным элементом солнечной установки является коллектор, в котором происходит улавливание солнечной энергии, ее преобразование в теплоту и нагрев воды, воздуха или какого-либо другого теплоносителя. Различают два типа солнечных коллекторов – плоские и фокусирующие.
  • Активные гелиосистемы отопления зданий. В состав активной системы солнечного отопления входят коллектор солнечной энергии, аккумулятор теплоты, дополнительный (резервный) источник энергии, теплообменники для передачи теплоты из КСЭ в аккумулятор и из него к потребителям, насосы или вентиляторы, трубопроводы с арматурой и комплекс устройств для автоматического управления работой системы. Солнечный коллектор обычно устанавливается на крыше дома, остальное оборудование гелиосистемы отопления и горячего водоснабжения дома размещается в подвале.
  • Геотермальная энергия В Турции (г. Анталия) с 24 по 30 апреля 2005 г. с большим успехом прошел Всемирный геотермальный конгресс WOC-2005 под девизом «Геотермальная энергия: локальная, возобновляемая, экологически чистая». В этом форуме приняло участие более 1 400 специалистов из 81 страны шести континентов, было представлено более 700 научных докладов. Во время конгресса работала выставка последних достижений в области геотермии, где было представлено более 45 ведущих компаний мира.
  • Биоэнергетическая технология. Биогазовые технологии – радикальный способ обезвреживания и переработки разнообразных органических отходов растительного и животного происхождения, включая экскременты животных и человека, с одновременным получением высококалорийного газообразного топлива – биогаза и высокоэффективных экологически чистых органических удобрений. Биогазовые технологии – это решение проблем экологии, энергетики, агрохимии и капитала.
  • Использование водной энергии земли Три четверти земной поверхности занято водой, лишь одна четверть сушей. Поэтому человека привлекала проблема полезного использования воды, в том числе и в энергетике. Время применения гидравлических двигателей насчитывает более 2000 лет. Сначала как источник механической энергии использовались отдельные водяные колеса, затем отдельные водяные турбины и, наконец, гидростанции. В России насчитывается 575 тыс. рек протяженностью более 4 млн км. По количеству и длине рек Россия занимает первое место в мире. Их энергия, технически пригодная к использованию, составляет около 4 000 млрд кВт∙ч. По запасам гидроэнергии Россия превосходит все страны. Например, следующие за Россией США и Бразилия имеют гидроэнергетические запасы, примерно в 1,6 раза меньшие.
  • Водородная экономика Один из самых необычных и, пожалуй, самых привлекательных сценариев энергетического будущего человечества открывает проект «Водородная экономика». Его суть заключается в замене ископаемого топлива водородом. Физический и химический смысл проекта ясен: основная энергия в нефти, газе, каменном угле и дереве запасена в виде углеводородов – соединений углерода с водородом. И не углерод, а именно водород дает при сжигании наибольшее количество тепловой энергии, превращаемой затем в механическую.
  • Проектирование активных систем солнечного горячего водоснабжения Общие сведения. Задание на проект содержит характеристику и количество коммунально-бытовых потребителей теплоты, тип промышленного комплекса, характеристику топлива. В задании на проект рекомендуется предусмотреть несколько разных потребителей теплоты.
  • Биоэнергетические установки (БЭУ) и биоэнергетические заводы (БЭЗ) предназначены для утилизации отходов сельскохозяйственных предприятий, пищевой промышленности и бытового сектора с производством горючего газа и органических высокоэффективных удобрений, образующихся в результате метанового сбраживания навоза животных, помета птиц и растительных остатков в анаэробных условиях.
  • Математика Лекции и примеры решения задач

  • Действия с матрицами Две матрицы одинакового порядка называются равными, если равны все их соответствующие элементы. Две неравные квадратные матрицы одинакового размера могут иметь одинаковые определители.
  • Элементы линейной алгебры Матрицы и определители. Основные понятия
  • Свойства определителей Значение определителя не меняется при транспонировании матрицы (замен всех его строк соответствующими столбцами).
  • Свойства умножения матриц
  • Ранг матрицы Определитель с элементами, стоящими на пересечении произвольных   строк, и  столбцов матрицы, называется минором -го порядка этой матрицы.
  • Система линейных уравнений (СЛУ)
  • Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Уравнением линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое уравнение  (неявный вид), которому удовлетворяют координаты  любой точки данной линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.
  • Уравнение прямой в отрезках
  • Преобразование прямоугольных координат на плоскости
  • Пример Уравнение окружности  привести к каноническому виду.
  • Уравнение эллипса , привести к каноническому виду.
  • Построение гиперболы При построении гиперболы необходимо построить прямоугольник со сторонами  и   и провести диагонали, которые и являются асимптотами (см. рис.). ,  - вершины гиперболы,  - действительная полуось,  - мнимая полуось,  - центр гиперболы.
  • Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве Найти угол между прямой и плоскостью.
  • Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, называемой директрисой и точки, называемой фокусом.
  • Поверхности и линии в пространстве Уравнением поверхности (в фиксированной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты   любой точки данной поверхности и только они.
  • Уравнение прямой в пространстве
  • Сфера Множество точек пространства, равноудаленных от данной точки , называемой центром, называется сферой.
  • Двуполостный гиперболоид Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением
  • Математический анализ Элементы теории множеств Логические символы
  • Ограниченные и неограниченные множества
  • Пример Показать, что последовательность  не имеет предела. Действительно, пусть а – предел xn.
  • Число е Рассмотрим последовательность {xn} с общим членом .
  • Односторонние пределы Если у любой сходящейся к точке  последовательности  все ее элементы меньше , а соответствующая последовательность  сходится к , то число  называется левым пределом функции .
  • Предел функции на бесконечности Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность сходится к А.
  • Дифференциальное исчисление функции одной переменной Производная функции
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Непрерывность функций в точке Функция определенная в некоторой окрестности точки , включая саму точку, называется непрерывной в этой точке, если
  • Обратная функция Пусть X и Y - некоторые множества и задана функция f(x), т.е. множество пар чисел (x, y): , причем.
  • Физический смысл дифференциала. Если производная позволяет оценить скорость изменения некоторой величины, то  равен расстоянию, которое прошла бы точка за , если бы двигалась равномерно со скоростью, равной мгновенной скорости момент . Использование дифференциала для приближенных вычислений
  • Производная сложной функции
  • Исследование поведения функций одной переменной и построение графиков Признак монотонности функций
  • Производная функции, заданной неявно Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной x.
  • Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма
  • Раскрытие неопределенностей
  • Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции Функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на отрезке  в точке .
  • Функции двух переменных В естествознании встречаются ситуации, когда одна величина является функцией нескольких других:
  • Частные производные и дифференциалы высших порядков Частные производные по переменным  и в точке  от функций  и в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции .
  • Непрерывность функции двух переменных Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.  или .
  • Частные производные Пусть функция  определена в окрестности точки . Зададим переменной   в точке  приращение , оставляя   неизменным, т.е. перейдем к точке , принадлежащей области  (области определения функции).
  • Неявные функции, условие их существования. Дифференцируемость неявных функций
  • Ряды Фурье для функции с периодом  и 
  • Интегрирование функций нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства. Метод интегральной  суммы. Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.
  • Представить интегралом Фурье заданную на всей оси функцию
  • Найти косинус- и синус-преобразования Фурье функции
  • Преобразование Фурье Интегральную формулу Фурье можно записать в виде . Это есть комплексная форма интеграла Фурье.
  • Колоколообразный импульс
  • Основные свойства двойного интеграла. Постоянный множитель выносится за знак интеграла а f(x,y) dx dy = аf(x,y) dx dy т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.
  • Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.
  •   Вычислить площадь D , если D : y = x , y = 0 , x = 1 . Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение :
  • Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела. Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью r(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.
  • Практикум по теме «Двойной интеграл»
  • Пример.  Изменить порядок интегрирования J = 
  • Преобразования плоских областей. Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной системы координат хОу к криволинейной системе координат uOv , где элементу площади dxdy будут соответствовать элемент площади |J| dudv. Якобиан J - коэффициент искажения плоскости. В полярной системе координат dxdy   r d dr.
  • Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
  • Теория погрешностей Общие сведения об источниках погрешностей, их классификация
  • Понятия о погрешности машинных вычислений
  • Решение уравнений с одной переменной
  • Решение систем линейных уравнений методом простой итерации
  • Методы решения систем нелинейных уравнений
  • Погрешность численного интегрирования Для нахождения зависимостей погрешности вычисления определенного интеграла на отрезке [a,b] от числа отрезков разбиения интервала интегрирования разложим подынтегральную функцию в ряд Тeйлора
  • Решение нелинейных систем методами спуска Общий недостаток всех рассмотренных ранее методов решения систем нелинейных уравнений состоит в локальном характере сходимости, затрудняющем их применение в случаях (достаточно типичных), когда существуют проблемы с выбором начального приближения, обеспечивающего сходимость итерационной вычислительной процедуры.
  • Интерполирование функций
  • Сплайн-интерполяция При большом количестве узлов интерполяции приходится использовать интерполяционные полиномы высокой степени, что создает опредёленные неудобства при вычислениях. Можно избежать выcокой степени интерполяционного многочлена, разбив отрезок интерполяции на несколько частей и построив на каждой части самостоятельный интерполяционный многочлен
  • Методы обработки экспериментальных данных Метод наименьших квадратов
  • Разложение периодических функций в ряд Фурье
  • Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных Общие сведения и классификация уравнений в частных производных
  • Спектральный анализ дискретных функций конечной длительности
  • Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
  • Лабораторная работа
  • Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева
  • Приближённое вычисление интеграла методом Симпсона
  • Приближённое вычисление интеграла по квадратурной формуле Гаусса.
  • Приближённое решение задачи Коши методом Эйлера
  • Тригонометрическая интерполяция
  • Приближённое решение уравнения методом Ньютона
  • Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом Чебышева
  • Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом переменных направлений
  • Решение задачи Дирихле для линейного эллиптического уравнения с переменными коэффициентами
  • Решение первой начальной краевой задачи для уравнения теплопроводности по схеме Кранка-Николсона
  • Векторная алгебра
  • Построение решений систем линейных уравнений
  • Понятие векторного (линейного) пространства Упорядоченная система  чисел , называется -мерным вектором. Каждое число   называется -той координатой (или компонентой) вектора .
  • Однородная система линейных уравнений (СЛОУ)
  • Скалярное произведение векторов и его свойства Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними
  • Смешанное произведение векторов Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора  и  перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .
  • Интеграл Фурье
  • Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале  формулой:  
  • Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой  
  • Ряды Фурье в комплексной форме Пусть   – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Так как сумма тригонометрического ряда является периодической функцией, то очевидно, что данная непериодическая функция не может быть разложена в ряд Фурье. Но если функция задана на конечном интервале , то для нее можно построить ряд Фурье, который имел бы ее своей суммой на этом интервале.
  • Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением . Решение. Рассмотрим два возможных (из бесчисленных) способа разложения этой функции в ряд Фурье на заданном интервале.
  • Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением . Решение. В данном случае удобно использовать комплексную форму ряда Фурье.
  • Вычисление интегралов
  • Практикум по теме «Тройной интеграл» Задача о вычислении массы тела. Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.
  • Пример. Вычислить тройной интеграл J = , где : y = x, y = 0,  x = 1, z =, z = 0.
  • Практикум по теме «Криволинейный интеграл» Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью f(M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.
  • Основные понятия симплексного метода решения задачи линейного программирования
  • Симплексный метод с искусственным базисом (М-метод) Симплексный метод с искусственным базисом применяется в тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный опорный план исходной задачи линейного программирования, записанной в канонической форме.
  • Поверхностный интеграл первого рода
  • Матрицы и определители
  •