Задача Коши Примеры решения типовых задач по математике Метод Фурье Методом Эйлера Метод итераций Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Решение систем линейных уравнений

Примеры решения типовых задач по математике

Потенциал стационарного электрического тока

Пусть в однородной среде, заполняющей некоторый объем V, проходит электрический ток, плотность которого в каждой точке дается вектором . Предположим, что плотность тока не зависит от времени t. Предположим далее, что в рассматриваемом объеме нет источников тока. Следовательно, поток вектора  через любую замкнутую поверхность S, лежащую внутри объема W, будет равен нулю:

,

где  – единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности. Из формулы Остроградского заключаем, что

 . (14)

Интегрирование рациональных функций. Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

На основании обобщенного закона Ома определяется в рассматриваемой проводящей среде электрическая сила E:

, (15)

или ,

где l – проводимость среды, которую мы будем считать постоянной.

Из общих уравнений электромагнитного поля следует, что если процесс стационарный, то векторное поле  безвихревое, т.е. . Тогда аналогично тому, что мы имели при рассмотрении поля скоростей жидкости, векторное поле является потенциальным. Существует функция j такая, что

 . (16)

На основании (15) получаем

 . (17)

Из (14) и (17) следует:

,

или .

Получили уравнение Лапласа.

Решая это уравнение при соответствующих краевых условиях, найдем функцию j, а по формулам (17) и (16) найдем ток  и электрическую силу .

 

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Введем в рассмотрение цилиндрические координаты (r, j, z):

,

откуда

 . (18)

Заменяя переменные x, y и z на r, j, z, придем к функции :

.

Найдем уравнение, которому будет удовлетворять . Имеем: ,

 

 ; (19)

аналогично

 

 , (20)

кроме того,

 . (21)

Выражения для , , , , , , ,  находим из равенств (18). Складывая правые части равенств (19) – (21) и приравнивая сумму к нулю (так как сумма левых частей этих равенств равна нулю в силу уравнения (2)), получаем

 . (22)

Это уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.

Если функция U не зависит от z и зависит от x и y, то функция , зависящая только от r и j,  удовлетворяет уравнению

 , (23)

где r и j – полярные координаты на плоскости.

Найдем теперь решение уравнения Лапласа в области D (кольце), ограниченной окружностями  и , принимающее следующие граничные значения:

 , (24)

 , (25)

где U1 и U2 – постоянные.

Будем решать задачу в полярных координатах. Очевидно, что решение не зависит от j. Уравнение (23) в этом случае примет вид

.

Интегрируя это уравнение, найдем

 . (26)

Определим С1 и С2 из условий (24), (25):

.

Отсюда находим:

.

Подставляя найденные значения С1 и С2 в формулу (26), окончательно получаем

 . (27)

Замечание. Фактически мы решили следующую задачу: найти функцию U, удовлетворяющую уравнению Лапласа в области, ограниченной поверхностями (в цилиндрических координатах): , , , , и следующим граничным условиям:

(задача Дирихле-Неймана). Искомое решение не зависит ни от z, ни от j и дается формулой (26).

Уравнения эллиптического типа

Потенциальное течение жидкости или газа. Уравнение неразрывности

Задача Дирихле для круга


Вычислить определитель матрицы