Задача Коши Примеры решения типовых задач по математике Метод Фурье Методом Эйлера Метод итераций Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Решение систем линейных уравнений

Примеры решения типовых задач по математике

Метод Пикара последовательных приближений

Одним из аналитических методов приближенного решения дифференциальных уравнений является метод Пикара. Он применяется к задаче Коши (1), (2):

Теорема Пикара. Пусть  – функция, непрерывная по x в некоторой области G. Пусть, кроме того,  удовлетворяет условию Липшица по y:  в любой замкнутой ограниченной области , содержащейся в G (константа К зависит от ). Тогда для любой точки  найдется интервал , на котором существует единственное решение задачи Коши (1), (2).

Практикум по решению математических задач Задача 21. Определить, какие ряды сходятся

Замечание 1. Поскольку  является непрерывной по x, удовлетворяет условию Липшица по y в , то функция  является непрерывной по совокупности переменных. Это легко следует из равенства

Замечание 2. Предположим, что решение  задачи Коши (1), (2) существует. Тогда , и, проинтегрировав равенство в пределах от x0 до x, получим

  . (3) Функциональные ряды. Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции

Таким образом, всякое решение задачи Коши (1), (2) удовлетворяет уравнению (3). Обратно, продифференцировав (3), получим, что функция y удовлетворяет уравнению (1) и проходит через точку .

Значит, вместо доказательства существования и единственности решения дифференциального уравнения (1), проходящего через точку , можно доказывать, что на отрезке  существует, причем только одно, непрерывное решение интегрального уравнения (3).

Доказательство теоремы Пикара. Пусть  – замкнутая ограниченная область. Точка  – внутренняя точка . Обозначим . Поскольку  – ограниченная и замкнутая область,  – непрерывна в , то . Проведем через точку  прямые с угловыми коэффициентами М и (–М). Теперь проведем прямые  и  так, чтобы получились два равнобедренных треугольника, целиком лежащих в (рис. 5). Область этих треугольников назовем .

Рассмотрим функцию , непрерывную на  и такую, что ее график не выходит за пределы . Подставим  в правую часть интегрального уравнения (3). Получившуюся функцию назовем :

.

При этом  определена и непрерывна на  при , . График  не выходит из области треугольников . Это получается из неравенства  и из оценки интеграла .

Положим теперь:

  (4)

Все функции φ1, φ2, … удовлетворяют всем свойствам, отмеченным выше. Установим, что на  последовательность φ0, φ1, … равномерно сходится к непрерывному решению интегрального уравнения (3). Поскольку

,

то доказательство равномерной сходимости последовательности  эквивалентно доказательству равномерной сходимости ряда .

Оценим разность , используя неравенство Липшица:

. Обозначим К(b–a) = m.

Пусть число с таково, что , . Получаем

Числовой ряд  является геометрической прогрессией и сходится при . Поэтому интервал  считаем достаточно малым, чтобы . Теперь функциональный ряд  оценен сверху сходящимся числовым рядом, следовательно, является равномерно сходящимся. Его сумма непрерывна на , график суммы не выходит из области .

Так как , то в равенствах (4) можно переходить к пределу и справа и слева. Предельная функция  удовлетворяет уравнению (3).

Существование решения доказано. Докажем единственность.

Предположим, что кроме решения  существует решение , график которого не выходит из области . Тогда .

Их разность  

 .

Или .

Поскольку , то  и . Решение единственно. Теорема доказана полностью.

Таким образом, , n =1, 2, … .

Погрешность оценивается неравенством

, где , .

Найти стационарное распределение температуры на тонкой однородной круглой пластине радиусом R, верхняя половина которой поддерживается при температуре 1°, а нижняя – при температуре 0°.

Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиусом R

Построить последовательность пикаровских приближений решения дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .


Вычислить определитель матрицы