Задача Коши Примеры решения типовых задач по математике Метод Фурье Методом Эйлера Метод итераций Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Решение систем линейных уравнений

Примеры решения типовых задач по математике

Задачи для самостоятельного решения

Методом Эйлера найти три значения функции y, определяемой уравнением , при начальном условии , полагая  .

Методом Эйлера найти четыре значения функции y, определяемой уравнением , при начальном условии , полагая .

Методом Эйлера найти четыре значения функции y, определяемой уравнением , при начальном условии , полагая .

Методом Эйлера найти численное решение уравнения  при начальном условии , полагая  (четыре значения).

Методом Эйлера найти численное решение уравнения  на отрезке  при начальном условии , полагая .

Составить таблицу значений функции y, определяемой уравнением , при начальном условии  в промежутке ; шаг  (применить метод Рунге-Кутта).

Методом Рунге-Кутта проинтегрировать уравнение  при начальном условии  в промежутке ; шаг  [точное значение ].

Методом Рунге-Кутта проинтегрировать уравнение ,  в промежутке  с шагом . Вычисления вести с тремя верными знаками.

Методом Рунге–Кутта проинтегрировать уравнение ,  в промежутке  с шагом . Вычисления вести с тремя верными знаками.

Метод Адамса

Снова будем искать решение уравнения  на отрезке , удовлетворяющее начальному условию  при . Введем обозначения. Приближенные значения решения в точках x0, x1, x2, …, xn будут y0, y1, y2, … , yn. Первые разности, или разности первого порядка,

, , … , .

Вторые разности, или разности второго порядка,

  ,

 ,

 . . .

 .

Разности вторых разностей называются разностями третьего порядка и т.д. Через , , … , обозначим приближенные значения производных, через , , … ,  – приближенные значения вторых производных и т.д. Аналогично определяются первые разности производных

,

вторые разности производных

и т.д.

Напишем формулу Тейлора для решения уравнения в окрестности точки :

. (8)

В этой формуле y0 известно, а значения , , … производных находятся из уравнения  следующим образом. Подставив в уравнение начальное значение x0, y0, найдем : .

Продифференцировав исходное уравнение по х, получим

.

Находим :

.

Продолжая дифференцирование, мы можем найти значения производных любого порядка при . Все члены, кроме остаточного члена Rm, в правой части формулы (8) известны. Таким образом, пренебрегая остаточным членом, мы можем получить приближенные значения решения при любом значении x; их точность будет зависеть от величины  и числа членов в разложении.

В рассматриваемом ниже методе по формуле (8) определяют только несколько первых значений y, когда  мало. Мы определим значения y1 и y2 при  и при , беря четыре члена разложения (y0 известно на основании начальных данных):

 , (9)

 . (10)

На основании найденных значений y0, y1, y2, используя уравнение , определяем:

 , .

Зная , , , можно определить , , . Результаты вычисления заносим в табл. 6.

Таблица 6

х

у

x0

y0

y1

y2

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

Допустим теперь, что нам известны значения решения y0, y1, … , yk. На основании этих значений, пользуясь уравнением , мы можем вычислить значения производных , , … , , а следовательно, , , … ,  и , , … , . Определим значение  по формуле Тейлора, полагая , :

.

Ограничимся четырьмя членами разложения:

  . (11)

В этой формуле неизвестными являются  и , которые мы попытаемся определить через известные разности первого и второго порядков.

Предварительно представим по формуле Тейлора , полагая , :

  (12)

и , полагая , :

 . (13)

Из равенства (12) находим

 . (14)

Вычитая из членов равенства (12) члены равенства (13), получаем

 . (15)

Из (14) и (15) находим

 ,

или . (16)

Подставляя выражение  в равенство (14), получаем

 . (17)

Итак,  и  найдены. Подставляя выражения (16) и (17) в разложение (11), получаем

 . (18)

Это и есть формула Адамса с четырьмя членами. Формула (18) дает возможность, зная , , , определить . Таким образом, зная y0, y1 и y2, мы можем найти y3 и далее y4, y5, …

Замечание 1. Если существует единственное решение уравнения  на отрезке , удовлетворяющее начальным условиям, то погрешность приближенных значений, определенных по формуле (18), по абсолютной величине не превосходит , где М – постоянная, зависящая от длины интервала и вида функции  и не зависящая от h.

Замечание 2. Если мы хотим получить большую точность вычисления, то следует брать членов больше, чем в разложении (11), и формула (18) соответствующим образом изменится. Так, если вместо формулы (11) мы возьмем формулу, содержащую справа пять членов, т.е. дополним членом порядка , то вместо формулы (18) получим формулу

.

Здесь определяется через значения , ,  и . Таким образом, чтобы начать вычисления по этой формуле, нужно знать четыре первых значения решения y0, y1, y2, y3. При вычислении этих значений по формулам типа (9), (10) следует брать пять членов разложения.

Геометрический смысл метода Эйлера

Оценка погрешности и точность вычислений Оценить остаточный член метода Рунге-Кутта очень сложно, следует только отметить, что если  непрерывна и ограничена со своими производными до четвертого порядка и эти производные не очень велики, то с уменьшением шага сетки приближенное решение сходится к точному равномерно и остаточный член примерно равен .

Пример. Найти приближенные значения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию  при . Значения решения определить при х = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.


Вычислить определитель матрицы