Задача Коши Примеры решения типовых задач по математике Метод Фурье Методом Эйлера Метод итераций Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Решение систем линейных уравнений

Примеры решения типовых задач по математике

Метод итераций

Из сеточного аналога уравнения Лапласа (26) выразим :

, (28)

 .

Вычисление интеграла ФНП. Решение типовых задач

*

 
Для вычисления по формуле (28) применяется так называемая схема «крест»: срединное значение  рассчитывается по четырем соседним узлам (рис. 10). Заменим в системе (28), состоящей из  – сеточного уравнения, значения , , ,  их значениями на границе из условия (25). Тогда в системе (28) останется  неизвестных значений , , .

Пусть известны на некоторой итерации  все значения . Тогда значения искомой функции на следующей  итерации рассчитываются по следующему итерационному алгоритму:

, (29)

где , k=0, 1, 2, … , K.

Процесс итерации (29) продолжается до такого номера К, пока не будет достигнута заданная точность e, т.е. будет выполняться следующий критерий:

. (30)

Тогда полагаем , , , т.е. решение задачи получено в виде таблицы значений функции.

Выбор начального приближения

Для начала расчета по формуле (29) необходимо задать начальное приближение , , . На границе известны: , , , , , .

Для внутренних узлов проинтегрируем значения в граничных узлах следующим образом (метод прямых). Зафиксируем горизонтальную прямую  (горизонтальный профиль). Предположим, что значения  на этом горизонтальном профиле (i=0, 1, … , М) равномерно меняются от значения  до значения  при . Линейный закон изменения следующий:

, i=0, 1, … , М.

Таким образом, вычислим значения во всех узлах горизонтального профиля  (на рис. 11 эти узлы помечены *).

Аналогично заполняем первый вертикальный профиль, т.е. узлы на вертикальной прямой . Будем считать, что  линейно меняется от , полученного из расчетов на горизонтальном профиле, до :

, j=1, 2, … , N.

На рис. 11 значения первого вертикального профиля отмечены 0.

Далее рассчитываем следующий горизонтальный профиль , а затем вертикальный  и т.д., двигаясь из нижнего левого угла сетки направо и вверх, то по горизонтальному, то по вертикальному профилю. Для j-го горизонтального профиля расчетные формулы примут вид

, i=j–1, j, … , М.

Для i-го вертикального профиля значения начального приближения вычисляются по формуле

, j=i, i+1, … , N.

Так, чередуя горизонтальные и вертикальные профили, заполним весь нулевой слой при .

Оформление работы

Для каждого номера итерации K составляется таблица - шаблон, в каждую клетку которой заносятся значения  на очередной итерации (табл. 10.)

 Таблица 10

U0N

U1N

U2N

UMN

j=N

U0,N-1

U1,N-1

U2,N-1

UM,N-1

j=N–1

U01

U11

U21

UМ1

j=1

U00

U10

U20

UМ0

j=0

i=0

i=1

i=2

i=M

Каждый шаблон сопровождается вычислительным значением максимального отличия значения этого шаблона от соответствующих значений предыдущего шаблона. Шаблонов строится К штук, пока не выполнится условие (30).

Метод сеток для уравнения гиперболического типа

Требуется найти функцию, удовлетворяющую уравнению

, (31)

а также начальным условиям:

 (32)

и краевым условиям:

. (33)

Так как введение переменной  приводит уравнение (31) к виду

, (34)

то в дальнейшем можно принять . Построим в полуполосе ,  два семейства параллельных прямых:

, i = 0, 1, … , h, , j = 0, 1, …

и заменим производные в уравнении (34) разностными отношениями. Получим

. (35)

Обозначая , придем к разностному уравнению

. (36)

Доказано, что при  это разностное уравнение устойчиво. В частности, при  уравнение (36) имеет более простой вид

. (37)

Оценка погрешности приближенного решения, полученного из уравнения (37) в полосе , , имеет вид

,

где  – точное решение,

 , k=3, 4.

Замечание. Для получения уравнения (37) была использована схема узлов, отмеченная на рис. 12. Эта схема является явной, т.к. уравнение (37) позволяет найти значения функции  на слое tj+1, если известны значения на двух предыдущих слоях. Для того, чтобы знать значения решений задачи (31) – (33), необходимо знать значения решений на двух начальных слоях. Их можно найти из начальных условий одним из следующих способов.

Первый способ. Заменяем в начальных условиях (32) производную  разностным соотношением

;

для определения значений  на слоях j=0, j=1 получаем:

, .

Второй способ. Заменяем производную  разностным соотношением , где  – значения функции  на слое j=–1. Тогда из начальных условий (32) будем иметь

. (38)

Напишем разностное уравнение (37) для слоя j=0

. (39)

Исключив из уравнений (38), (39) значения , получим:

, .

Третий способ. Если функция  имеет конечную вторую производную, то значения  можно определить с помощью формулы Тейлора.

. (40)

Используя уравнение (34) и начальные условия (32), можем записать: . Тогда по формуле (40) будем иметь

. (41)

Приближенный метод интегрирования систем  дифференциальных уравнений первого порядка

Найти приближенные значения  и  решений системы уравнений

Пример. Методом сеток найти решения задачи


Вычислить определитель матрицы