Задача Коши Примеры решения типовых задач по математике Метод Фурье Методом Эйлера Метод итераций Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Решение систем линейных уравнений

Примеры решения типовых задач по математике

Задача Коши

Найти решение уравнения (2) для бесконечной области  удовлетворяющее в области  начальным условиям (3), (4). Граничные условия отсутствуют.

Кроме того, могут быть поставлены смешанные краевые задачи, когда на разных концах заданы различные граничные условия или когда струна полубесконечная (только на одном конце задано граничное условие).

1.3. Решение задачи Коши. Формула Даламбера

Будем решать однородное волновое уравнение Градиент. Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке ,

 (7)

для бесконечной струны, , , при начальных условиях (3), (4).

Введем новые переменные:

. (8)

Уравнение (7) с помощью замены (8) приводится к виду

. (9)

Общее решение уравнения (9) можно записать в виде

,

где Y1, Y2 – произвольные функции одной переменной, определим их из начальных условий. Переходя к прежним переменным, найдем

. (10)

При t=0 из начального условия (3) имеем

. (11)

Определим производную по t для решения (10):

и воспользуемся начальным условием (4):

. (12)

Выражение (12) проинтегрируем по x в пределах от 0 до x:

, (13)

где – постоянная величина.

Складывая и вычитая почленно (11) и (13), получим:

, (14)

. (15)

Выражения для Y1 и Y2 из (14) и (15) запишем для любого , вспоминая, что ,  , и подставим в искомое решение (10):

 

.

Преобразуем последнее выражение и получим формулу Даламбера 

, (16) 

где .

Итак, решение задачи Коши для волнового уравнения (7) выписывается в виде формулы (16).

В учебном пособии приводятся способы нахождения точных решений различных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и методы приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Каждый раздел пособия содержит теоретическое описание метода, образцы решения задач и набор задач для самостоятельного решения. Даются три типовых расчета: по методам решений дифференциальных уравнений с частными производными, а также по приближенным и вариационным методам. Теоретические выкладки снабжены практическими примерами. 

Вывод уравнения колебания струны В математической физике под струной понимают гибкую упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длиной l в начальный момент направлена по отрезку оси Ox от 0 до l.

Использование метода Фурье при решении первой краевой задачи


Вычислить определитель матрицы