Задача Коши Примеры решения типовых задач по математике Метод Фурье Методом Эйлера Метод итераций Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Решение систем линейных уравнений

Примеры решения типовых задач по математике

Определители 2-го и 3-го порядка

Определение 1.13 Таблица, составленная из четырех элементов, выстроенных в два ряда и два столбца: , называется квадратной матрицей второго порядка.

Пара элементов матрицы  и  образуют первую строку матрицы , соответственно, пара  и  – вторую строку. Пара элементов  и  образуют первый столбец, пара  и  - второй столбец матрицы . Число строк и столбцов матрицы называется ее порядком.

Определение 1.14. Матрицей третьего порядка называется таблица, составленная из девяти элементов : . Элементы  образуют главную диагональ матрицы, элементы   - побочную диагональ матрицы. Решение примерного варианта контрольной работы №2 Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.

Определение 1.15. Определителем матрицы второго порядка называется число: , определяемое как разность между результатом умножения элементов главной диагонали и результатом умножения элементов побочной диагонали: .

Определение 1.16. Определителем матрицы третьего порядка называется число, определяемое по формуле:

.

Это выражение называется разложением определителя по элементам первой строки.

Можно сосчитать определители второго порядка, и тогда формула примет вид:

.

Пример 1.6. Вычислить определитель матрицы 2-го порядка: .

Решение: По формуле для вычисления определителя имеем: .

Ответ: 16.

Пример 1.7. Вычислить определитель матрицы 3-го порядка: .

Решение: По формуле вычисления определителя матрицы 3-го порядка имеем:

.

Ответ: 40.

Векторное и смешанное произведения векторов

Определение 1.17. Векторным произведением двух ненулевых векторов  и  называется вектор, обозначаемый как , удовлетворяющий условиям:

- вектор  перпендикулярен векторам  и ;

- длина  равна , где ;

- векторы , ,  образуют правую тройку, то есть если векторы , ,  приведены к общему началу, то из конца  поворот от вектора  к вектору  на меньший угол происходит против часовой стрелки (Рис. 1.7).

Рис. 1.7. Векторное произведение двух ненулевых векторов

Векторное произведение обладает свойствами:

1) векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тгда и только тогда, когда они коллинеарны, в частности ;

2) , где  – скаляр;

3) ;

4) ;

5) длина  равна площади параллелограмма, построенного на векторах  и , приведенных к одной точке;

6) если координаты векторов  и  известны в декартовом базисе  как  и , то их векторное произведение можно представить в виде:

.

Определение 1.18. Смешанным произведением трех ненулевых некомпланарных векторов , ,  называется число, равное скалярному произведению вектора  и .

Обозначается смешанное произведение как  или .

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1) геометрически смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах и взятого со знаком «+», если  – правая тройка и со знаком «–», если   – левая тройка;

2) в смешанном произведении неважно, в каком порядке брать векторное и скалярное произведение: ,

но при перестановке двух сомножителей меняется знак: ;

3) три вектора компланарны, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю;

4) если координаты векторов ,  и  известны в декартовом базисе  как ,  и , то их векторное произведение можно представить в виде:

.

Скалярное произведение векторов Углом между двумя векторами называется часть плоскости между их лучами, если вектора приложить к одной точке

Пример. Вычислить координаты вектора , если известны декартовы координаты:   и .

Задача Найти , если  и , где , , угол . Решение: Для решения необходимо знать длину векторов, что нам неизвестно, но даны данные по базису, поэтому перейдем от исходных векторов к базисным, подставим в формулу  выражения разложения векторов по базису:


Вычислить определитель матрицы