Задача Коши Примеры решения типовых задач по математике Метод Фурье Методом Эйлера Метод итераций Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Решение систем линейных уравнений

Примеры решения типовых задач по математике

Примеры решения типовых задач: кривые второго порядка

Задача 2.17

Найти центр и радиус окружности, заданной уравнением .

 Решение: Приведем исходное уравнение к виду ( 2.2 ): выделим полные квадраты по  и , для этого разобьем свободный член на элементы:

, или

. Согласно уравнению ( 2.2 ) получаем Ответ: координаты центра , радиус=.

Задача 2.18

Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, описываемого уравнением .

Решение:

Приведем уравнение к виду ( 2.3 ): перепишем в виде:

, откуда , .

Определяем расстояние фокусов от центра:

, то есть , .

Эксцентриситет данного эллипса определяем по формуле:

. Ответ: , , .

Задача 2.19

Написать уравнение гиперболы, если ее фокусы находятся в точках , , а длина ее действительной оси равна 1.

Решение:

Для записи уравнения гиперболы в виде ( 2.4 ) необходимо знать величины  и . Величина  по условию задачи (длина вещественной оси). Определим величину .

Из условия задачи можно определить величину . Это первая координата фокуса, то есть .

По формуле  определяем величину :

Подставляем в уравнение ( 2.4 ), получаем Ответ: .

Задача 2.20

Вывести каноническое уравнение параболы, если известно, что ее вершина расположена в начале координат, она расположена симметрично оси , и проходит через точку .

Решение:

По условию парабола симметрична оси  и вершина расположена в центре координат, следовательно, для нахождения параметра параболы можно воспользоваться каноническим уравнением ( 2.5 ).

Подставим в уравнение ( 2.5 ) координаты точки, через которую проходит парабола: , откуда .

Следовательно, уравнение параболы можно записать как . Ответ: .


Вычислить определитель матрицы