Задача Коши Примеры решения типовых задач по математике Метод Фурье Методом Эйлера Метод итераций Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Решение систем линейных уравнений

Примеры решения типовых задач по математике

Примеры решения типовых задач: матрицы

Задача 4.1.

Вычислить матрицу по правилу: , где ; ; .

Решение: По правилам выполнения арифметических операций, сначала выполняем операции, указанные в скобках. Найдем суммы матриц:

; .

Теперь найдем произведение полученных матриц:

. Ответ: .

Задача 4.2.

Вычислить матрицу , где

, .

Решение:

Вычислим вспомогательную матрицу :

Вычислим вспомогательную матрицу :

Вычислим матрицу .

. Ответ: .

Задача 4.3.

Вычислить определитель матрицы: .

Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в первой строке остались нули, кроме элемента в первом столбце. Один нуль уже есть, получим еще два. Для этого умножим элементы первого столбца на (-1) и сложим с элементами третьего столбца. Затем умножим элементы первого столбца на (-2) и сложим с четвертым столбцом. При этом, естественно, элементы первого столбца перепишем без изменения:

{Раскладываем определитель по элементам первой строки}

{Продолжим преобразования определителя. Получим в первой строке нули, кроме элемента в первом столбце. Умножим элементы первого столбца на (-1) и сложим с элементами второго столбца. Затем умножим элементы первого столбца на (-2) и сложим с элементами третьего столбца. Разложим полученный определитель по элементам первой строки}

. Ответ: .

Задача 4.4. Вычислить обратную матрицу для .

Решение. 1) Вычислим определитель исходной матрицы, выполнив преобразования: умножим элементы первой строки на (-1) и сложим с элементами третьей строки. Затем разложим по элементам третьего столбца:

.

2) Транспонируем исходную матрицу .

3) Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента полученной матрицы:

; ; ; ; ; ;

; ; .

4) Запишем алгебраические дополнения в транспонированную матрицу вместо ее элементов. Разделив каждый элемент матрицы на определитель исходной, получим обратную:

.

Проверим выполнение условия :

. Ответ: .

Задача 4.5. Вычислить матрицу, обратную к матрице: .

Решение. Вычислим определитель матрицы: сложим элементы третьего столбца с элементами первого и разложим по элементам третьего столбца:

.

Определитель равен нулю, значит, матрица вырожденная и для нее обратной не существует.

Ответ: обратной матрицы не существует.

Задача 4.6. Вычислить ранг матрицы: .

Решение. Матрица имеет четыре столбца и три строки, поэтому ее ранг не может превышать: . Однако, она содержит нулевые столбцы: второй и четвертый, значит все ее подматрицы 3-го порядка также будут содержать нулевые столбцы, и их определитель будет равен нулю. Поэтому, отбросив все нулевые столбцы имеем: . Полученная матрица имеет три строки и два столбца, значит, . Обратим внимание на элементы столбцов: они пропорциональны, поэтому любые подматрицы 2-го порядка, выделяемые из данной, также будут иметь определители, равные нулю. Следовательно, данная матрица имеет ранг равный 1.

Ответ: .

Задача 4.7. Вычислить ранг матрицы: .

Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, ранг матрицы от этого не изменится:

Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы первого столбца, кроме  были равны нулю. Умножим все элементы первой строки на 2 и сложим с соответствующими элементами третьей строки. Затем сложим все элементы первой строки с соответствующими элементами третьей строки:

{Теперь добиваемся, чтобы все элементы второго столбца, кроме  и  были равны нулю. Умножаем все элементы второй строки на (-3) и складываем с соответствующими элементами третьей строки. Затем умножаем все элементы второй строки на (-3) и складываем с соответствующими элементами четвертой строки. Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей, то отбрасываем их} .

Последняя матрица содержит миноры второго порядка не равные нулю, например: , следовательно, .

Ответ: .

Пример. Вычислить определитель матрицы 2-го порядка: .

Пример . Вычислить определитель из предыдущего примера Решение: Задача состоит в том, чтобы получить как можно больше нулей в какой-нибудь из строк или столбцов, и, затем разложить по этой строке (столбцу) определитель. Получим нуль в первой строке в первом столбце. Для этого умножим элементы четвертого столбца на (-1) и сложим с элементами первого столбца, при этом определитель не изменится

Ранг матрицы


Вычислить определитель матрицы