Задача Коши Примеры решения типовых задач по математике Метод Фурье Методом Эйлера Метод итераций Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Решение систем линейных уравнений

Примеры решения типовых задач по математике

Решение систем линейных уравнений

Определители используются при решении систем линейных уравнений. Произвольная система линейных уравнений имеет вид:

,

( 4.1 )

где ,  – натуральные числа. Числа   называются коэффициентами системы, а числа    – свободными членами. Числа   и  являются заданными.  называются неизвестными. Необходимо определить их значения.

Определение 4.1. Решением системы ( 4.1 ) называется всякая совокупность чисел , подстановка которых в исходную систему вместо соответствующих неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество.

Определение 4.2. Две системы линейных уравнений называются тождественными, если решение первой системы является решением второй и наоборот.

Определение 4.3. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Определение 4.4. Система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения - неопределенной.

Определение 4.5. Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных   называется основной, а матрица, полученная добавлением к основной матрице столбца свободных членов , называется расширенной матрицей системы ( 4.1 ). Критерий совместности для системы уравнений ( 4.1 ) определяет следующая теорема.

Теорема 4.1 (Теорема Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной.

Определение 4.6. Система, в которой все свободные члены равны нулю, называется однородной. Если хотя бы один из свободных членов не равен нулю, то система называется неоднородной.

Однородная система всегда совместна (имеет единственное решение), так как для нее .

Рассмотрим существующие методы решения систем линейных уравнений.

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

Рассмотрим систему линейных уравнений с двумя неизвестными  и : , где , , ,  – коэффициенты при неизвестных; ,  – свободные члены.

Как известно из школьного курса, подобные системы решаются методом исключения, например, умножим первое уравнение на , второе на  и вычтем второе из первого, таким образом, избавляемся от второго неизвестного:

,

(4.2 )

откуда . Аналогично определяется и второе неизвестное:

,

( 4.3 )

откуда . Введем три определителя:

, , .

Определитель  составлен из коэффициентов при неизвестных; определитель  получается из  заменой первого столбца на столбец свободных членов; определитель  – аналогичной заменой второго столбца. Тогда равенства (4.2 ) и ( 4.3 ) можно переписать в виде: , . Рассмотрим возможные случаи:

1) . В этом случае система имеет единственное решение:

  и .

Это решение известно как правило Крамера.

2) . В этом случае имеются две возможности:

а)  и тогда система имеет бесконечное множество решений;

б)  или , тогда система не имеет решений, так как одно из равенств противоречиво.

Система  линейных уравнений с  неизвестными

Точно так же можно исследовать решение системы, содержащей  линейных уравнений с  неизвестными:

Введем обозначения: неизвестные обозначим вектором ; коэффициенты при неизвестных – матрицей ; правые части – как вектор :

, ,

тогда система перепишется в виде: .

Главным определителем этой системы является определитель  матрицы : . Кроме него можно составить еще  определителей по правилу: определитель  получается из определителя   заменой -того столбца на столбец  правых частей уравнений . Для системы -ого порядка справедлив тот же закон, что и для системы двух уравнений.

Правило Крамера

Если , система  имеет единственное решение:

, , …, .

( 4.4 )

Если , а хотя бы один из определителей , где , не равен нулю, то система не имеет решений.

Если , то система имеет бесконечно много решений.

Для системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных, имеет место утверждение: такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ее главный определитель отличен от нуля.

Матричный метод Пусть дано матричное уравнение: , где  и  - заданные матрицы, причем матрица  – невырожденная. Требуется найти матрицу .

Произвольная система линейных уравнений

Примеры решения типовых задач: системы линейных уравнений Задача. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:


Вычислить определитель матрицы