Задача Коши Примеры решения типовых задач по математике Метод Фурье Методом Эйлера Метод итераций Аналитическая геометрия Кривые второго порядка Решение систем линейных уравнений

Примеры решения типовых задач по математике

Метод Фурье для решения второй краевой задачи

Общее решение уравнения теплопроводности (3) имеет вид (14). Коэффициенты l, С1, С2, С3 определим из граничных условий (6) и начального условия (4). Производная по x решения (14) имеет вид

 . (23)

Подставим (23) в граничные условия (6):

. (24)

Соотношение (24) выполняется для любого  при . Для второго условия

 . (25)

 Предполагая  (иначе получим тривиальное решение ), из равенства (25) имеем , или , где n = 1, 2, … . Итак, решение второй краевой задачи имеет вид

  при n = 0, 1, 2, … .

 Суммируя все решения при различных n, снова получим решение дифференциального уравнения (3), удовлетворяющее условиям (6): Исследовать на сходимость ряды

 , (26)

где . Коэффициенты  ряда (26) определим из начального условия (4):

. (27)

Соотношение (27) можно рассматривать как разложение в ряд Фурье периодической, четной на  функции  с коэффициентами , которые, как известно, определяются по формулам:

 (28)

Итак, решение второй краевой задачи нашли в виде ряда (26) с коэффициентами (28).

Распространение тепла в неограниченном стержне Пусть в начальный момент задана температура в различных сечениях неограниченного стержня. Требуется определить распределение температуры в стержне в последующие моменты времени. К задаче распространения тепла в неограниченном стержне сводятся физические задачи в том случае, когда стержень столь длинный, что температура во внутренних точках стержня в рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на концах стержня.

Примеры решения задач Найти решение уравнения , , , удовлетворяющее начальным условиям

Решить уравнение  для следующего начального распределения температуры стержня


Вычислить определитель матрицы