Аналитическая геометрия

Энергосберегающие технологии
Оборудование установок солнечного горячего водоснабжения
Схемы систем горячего водоснабжения
Геотермальная система теплохладоснабжения с тепловыми насосами
Комплексные геотермальные системы теплоснабжения
Проектирование ветроэнергетических установок
Уникальное изобретение в ветроэнергетике
Конструкция ветродвигателя
Расчет ветродвигательных установок
Проектирование биогазовых установок
Проектирование аккумуляторов теплоты
Приведем методику расчета для теплового аккумулятора
Установка солнечного горячего водоснабжения
Структурная схема гелиоустановки
Проектирование систем геотермального теплоснабжения
Закрытые системы геотермального теплоснабжения
Расчет и подбор отопительных приборов
Физика
Атомная физика
Ядерная физика
Электротехника
Расчет цепей постоянного тока
Расчет цепей переменного тока
Выполнение лабораторных работ
Математика
Аналитическая геометрия
Примеры решения типовых задач
по математике
Задача Коши
Метод Фурье для решения второй краевой задачи
Общее решение уравнения теплопроводности
Потенциал стационарного электрического тока
метод Пикара
Методом Эйлера
Метод итераций
Базис и разложение векторов
Определители 2-го и 3-го порядка
Аналитическая геометрия
Кривые второго порядка
Контрольная работа
Примеры решения типовых задач: матрицы
Решение систем линейных уравнений
Вычислить определитель матрицы

Действия с матрицами Две матрицы одинакового порядка называются равными, если равны все их соответствующие элементы. Две неравные квадратные матрицы одинакового размера могут иметь одинаковые определители.

Элементы линейной алгебры Матрицы и определители. Основные понятия

Свойства определителей Значение определителя не меняется при транспонировании матрицы (замен всех его строк соответствующими столбцами).

Свойства умножения матриц

Ранг матрицы Определитель с элементами, стоящими на пересечении произвольных   строк, и   столбцов матрицы, называется минором -го порядка этой матрицы.

Система линейных уравнений (СЛУ)

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Уравнением линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое уравнение  (неявный вид), которому удовлетворяют координаты  любой точки данной линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Уравнение прямой в отрезках

Преобразование прямоугольных координат на плоскости

Пример Уравнение окружности  привести к каноническому виду.

Уравнение эллипса , привести к каноническому виду.

Построение гиперболы При построении гиперболы необходимо построить прямоугольник со сторонами  и   и провести диагонали, которые и являются асимптотами (см. рис.). ,  - вершины гиперболы,  - действительная полуось,  - мнимая полуось,  - центр гиперболы.

Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве Найти угол между прямой и плоскостью.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, называемой директрисой и точки, называемой фокусом.

Поверхности и линии в пространстве Уравнением поверхности (в фиксированной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты   любой точки данной поверхности и только они.

Уравнение прямой в пространстве

Сфера Множество точек пространства, равноудаленных от данной точки , называемой центром, называется сферой.

Двуполостный гиперболоид Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

Математический анализ Элементы теории множеств Логические символы

Ограниченные и неограниченные множества

Пример Показать, что последовательность  не имеет предела. Действительно, пусть а – предел xn.

Число е Рассмотрим последовательность {xn} с общим членом .

Односторонние пределы Если у любой сходящейся к точке  последовательности  все ее элементы меньше , а соответствующая последовательность  сходится к , то число  называется левым пределом функции .

Предел функции на бесконечности Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность сходится к А.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Производная функции

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Непрерывность функций в точке Функция определенная в некоторой окрестности точки , включая саму точку, называется непрерывной в этой точке, если

Обратная функция Пусть X и Y - некоторые множества и задана функция f(x), т.е. множество пар чисел (x, y): , причем.

Физический смысл дифференциала. Если производная позволяет оценить скорость изменения некоторой величины, то  равен расстоянию, которое прошла бы точка за , если бы двигалась равномерно со скоростью, равной мгновенной скорости момент . Использование дифференциала для приближенных вычислений

Производная сложной функции

Исследование поведения функций одной переменной и построение графиков Признак монотонности функций

Производная функции, заданной неявно Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной x.

Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма

Раскрытие неопределенностей

Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции Функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на отрезке  в точке .

Функции двух переменных В естествознании встречаются ситуации, когда одна величина является функцией нескольких других:

Частные производные и дифференциалы высших порядков Частные производные по переменным  и в точке  от функций  и в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции .

Непрерывность функции двух переменных Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.  или .

Частные производные Пусть функция  определена в окрестности точки . Зададим переменной   в точке  приращение , оставляя  неизменным, т.е. перейдем к точке , принадлежащей области  (области определения функции).

Неявные функции, условие их существования. Дифференцируемость неявных функций

Ряды Фурье для функции с периодом  и 

Интегрирование функций нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства. Метод интегральной суммы. Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.

Представить интегралом Фурье заданную на всей оси функцию

Найти косинус-  и синус-преобразования Фурье функции

Преобразование Фурье Интегральную формулу Фурье можно записать в виде . Это есть комплексная форма интеграла Фурье.

Колоколообразный импульс

Основные свойства двойного интеграла. Постоянный множитель выносится за знак интеграла а f(x,y) dx dy = аf(x,y) dx dy т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

 Вычислить площадь D , если D : y = x , y = 0 , x = 1 . Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение :

Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела. Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью r(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Практикум по теме «Двойной интеграл»

Пример. Изменить порядок интегрирования J = 

Преобразования плоских областей. Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной системы координат хОу к криволинейной системе координат uOv , где элементу площади dxdy будут соответствовать элемент площади  |J| dudv. Якобиан J - коэффициент искажения плоскости. В полярной системе координат dxdy  r d dr.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Теория погрешностей Общие сведения об источниках погрешностей, их классификация

Понятия о погрешности машинных вычислений

Решение уравнений с одной переменной

Решение систем линейных уравнений методом простой итерации

Методы решения систем нелинейных уравнений

Погрешность численного интегрирования Для нахождения зависимостей погрешности вычисления определенного интеграла на отрезке [a,b] от числа отрезков разбиения интервала интегрирования разложим подынтегральную функцию в ряд Тeйлора

Решение нелинейных систем методами спуска Общий недостаток всех рассмотренных ранее методов решения систем нелинейных уравнений состоит в локальном характере сходимости, затрудняющем их применение в случаях (достаточно типичных), когда существуют проблемы с выбором начального приближения, обеспечивающего сходимость итерационной вычислительной процедуры.

Интерполирование функций

Сплайн-интерполяция При большом количестве узлов интерполяции приходится использовать интерполяционные полиномы высокой степени, что создает опредёленные неудобства при вычислениях. Можно избежать выcокой степени интерполяционного многочлена, разбив отрезок интерполяции на несколько частей и построив на каждой части самостоятельный интерполяционный многочлен

Методы обработки экспериментальных данных Метод наименьших квадратов

Разложение периодических функций в ряд Фурье

Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных Общие сведения и классификация уравнений в частных производных

Спектральный анализ дискретных функций конечной длительности

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Лабораторная работа

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций и методом Чебышева

Приближённое вычисление интеграла методом Симпсона

Приближённое вычисление интеграла по квадратурной формуле Гаусса.

Приближённое решение задачи Коши методом Эйлера

Тригонометрическая интерполяция

Приближённое решение уравнения методом Ньютона

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом Чебышева

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона методом переменных направлений

Решение задачи Дирихле для линейного эллиптического уравнения с переменными коэффициентами

Решение первой начальной краевой задачи для уравнения теплопроводности по схеме Кранка-Николсона

Векторная алгебра

Построение решений систем линейных уравнений

Понятие векторного (линейного) пространства Упорядоченная система  чисел , называется -мерным вектором. Каждое число   называется -той координатой (или компонентой) вектора .

Однородная система линейных уравнений (СЛОУ)

Скалярное произведение векторов и его свойства Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Смешанное произведение векторов Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора  и  перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .

Интеграл Фурье

Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале  формулой:  

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой  

Ряды Фурье в комплексной форме Пусть   – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Так как сумма тригонометрического ряда является периодической функцией, то очевидно, что данная непериодическая функция не может быть разложена в ряд Фурье. Но если функция задана на конечном интервале , то для нее можно построить ряд Фурье, который имел бы ее своей суммой на этом интервале.

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением . Решение. Рассмотрим два возможных (из бесчисленных) способа разложения этой функции в ряд Фурье на заданном интервале.

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением . Решение. В данном случае удобно использовать комплексную форму ряда Фурье.

Вычисление интегралов

Практикум по теме «Тройной интеграл» Задача о вычислении массы тела. Имеем объем  V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Пример. Вычислить тройной интеграл J = , где : y = x, y = 0, x = 1, z =, z = 0.

Практикум по теме «Криволинейный интеграл» Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью  f(M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

Основные понятия симплексного метода решения задачи линейного программирования

Симплексный метод с искусственным базисом (М-метод) Симплексный метод с искусственным базисом применяется в тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный опорный план исходной задачи линейного программирования, записанной в канонической форме.

Поверхностный интеграл первого рода

Матрицы и определители

Физика курс лекций для студентов техничских университетов