Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Элементы линейной алгебры

Матрицы и определители. Основные понятия

Определение 1.1.

Прямоугольная таблица чисел, состоящая из  строк и  столбцов называется матрицей порядка .

Числа  () называются элементами матрицы (здесь первый индекс – номер строки а второй – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент). Векторный потенциал магнитного поля Пусть требуется рассчитать магнитное  поле в однородной среде (m=const) , в которой протекает электрический ток, плотность которого задана в виде некоторой функции координат .

Определение 2.1.

Матрица, полученная из матрицы А заменой строк на столбцы, называется транспонированной матрицей и обозначается .

Замечание 1. В определении 1.2 матрица  имеет размер (n х m).

Определение 1.3

Матрица размера  называется квадратной матрицей  порядка

.

Замечание 2. Диагональ  называется главной диагональю квадратной матрицы, а диагональ  – побочной диагональю.

Примеры 1.1.

а)  (размер _1_х_4_) – однострочная матрица или

матрица-строка;

б)  (размер _3_х_1_) – столбцовая матрица или

матрица-столбец;

в) С=(-2) (размер _1_х_1_).

Пример 1.2.

.

С каждой квадратной матрицей свяжем определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице.

Обозначение:

.

Определение 1.4.

Определителем матрицы  первого порядка, называется сам элемент :

 .

Определение 1.5.

Определителем матрицы  второго порядка, называется число . (1.1)

Определение 1.6.

Определителем матрицы  третьего порядка, называется число

. (1.2)

Равенство (1.2) вычисляется по правилу Саррюса (часто его называют правилом треугольника):

а (+) б (–)

Замечание 3. Для определителя матрицы A употребляют также следующие обозначения:

, , .

Примеры 1.3.

Вычислить определители:

1) ;

2);

3) ;

4) .

Определение 1.7.

Минором элемента  квадратной матрицы -го порядка называется определитель матрицы ()-го порядка, остающийся после вычеркивания -й строки и -го столбца данной матрицы -го порядка (то есть строки и столбца на пересечении которых стоит элемент ).

Обозначение: .

(Минор – это число или матрица?)

Определение 1.8.

Алгебраическим дополнением элемента . называется его минор, взятый со знаком , где  – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент

. (1.3).

Пусть задана матрица A размером 4х4:

,тогда ,

Заметим, что , если  - четное число,

, если - нечетное.

Учитывая это, для правильной расстановки знаков перед минорами в алгебраических дополнениях удобна таблица:

Теорема 1.1 (разложения).

Определитель матрицы  порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

 (1.4)

– разложение по -й строке.

Доказательство.

Пусть, тогда  (1.5).

Докажем, что имеют место следующие равенства:

,  (1.6)

  (1.7)

  (1.8)

Чтобы доказать (1.6) достаточно записать правую часть формулы (1.5) в виде

.

Величины, стоящие в скобках являются алгебраическими дополнениями матрицы  порядка элементов , , , т.е.

.

Равенства (1.7) и (1.8) доказываются аналогично.

Отношения эквивалентности и упорядоченности

В математике понятие отношения используется для обозначения какой-либо связи между объектами. Отношение есть некоторое множество упорядоченных пар , где , а .

Отношение называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в этом отношении сам с собой ().

Отношение называется симметричным, если оно обладает свойством коммутативности ().

Отношение называется транзитивным, если .

Отношение называется антисимметричным, если .

Часто приходится рассматривать несколько элементов множества как эквивалентные, потому что по определенным признакам один элемент может быть заменен другим. Так, например, по признаку величины дроби   и  эквивалентны. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Понятие эквивалентности подразумевает выполнение следующих условий:

каждый элемент эквивалентен самому себе;

высказывание, что два элемента являются эквивалентными, не требует уточнения, какой из элементов рассматривается первым;

два элемента, эквивалентные первому, эквивалентны между собой.

Пусть  – множество, в котором определено отношение эквивалентности. Подмножество элементов, эквивалентных элементу , называется классом эквивалентности: все элементы этого класса эквивалентны между собой и всякий элемент  из  находится в одном и только в одном классе (если элементов, эквивалентных , не существует, то  может быть и единственным элементом класса). Отношение эквивалентности в  определяет на  разбиение на классы эквивалентности, т.е.  становится объединением непересекающихся классов.

Особенности природы элементов множества в большинстве случаев позволяют установить между ними отношения полного (или совершенного) порядка. Это отношение по определению обладает следующими свойствами:

Если между элементами множества определено также и отношение эквивалентности, то между элементами устанавливается отношение неполного или нестрогого порядка:

Возможны случаи, когда некоторые элементы множества не сравнимы. Такие множества называются частично упорядоченными.


Пример. Изменить порядок интегрирования