Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 10

Смешанное произведение векторов

Определение 10.1

Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора  и  перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .

Геометрический смысл смешанного произведения

Теорема 10.1.

Смешанное произведение трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, взятому со знаком « +», если тройка  правая, и «–» , если левая.

Доказательство.

Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах , лежащий в основании указанного параллелепипеда. Его площадь  выражается формулой (9.5).

.

Пусть -неколлинеарны  параллелепипеда, построенного на векторах .

Очевидно, что знак  совпадает со знаком , а он больше нуля, когда тройка правая, и меньше нуля, когда тройка левая, что и требовалось доказать.

Следствие 1.

Векторы  компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т.е. . (10.1)

Доказательство.

Действительно, если векторы компланарны, то , равенство (10.1) выполняется.

Обратное также верно. Допустим, что векторы – некомпланарны, построим на них параллелепипед, тогда по теореме 10.1 , что противоречит условию.

Следствие 2.

Справедливо равенство:

Доказательство.

Скалярное произведение не зависит от порядка множителей, следовательно . По теореме 10.1 , =, поскольку речь идет об одном и том же параллелепипеде  и – тройки одной ориентации, поэтому в двух последних равенствах нужно брать один и тот же знак, следовательно, =.

Принимая во внимание эти равенства, смешанное произведение  и  обозначают .

 

Таким образом, .

Замечание 1. Из свойства линейности скалярного произведения следует: .

Теорема 10.2.

Пусть , , , тогда

. (10.2)

Доказательство.

, что является разложением определителя (10.2) по третьей строке.

Замечание 2. Следствие 1 теоремы 10.1 теперь можно сформулировать следующим образом:

= – необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Пример 10.1.

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах   .

По формуле (10.2) получаем: .

Линейная зависимость векторов

Говорят, что векторы линейно независимы, если из равенства:

(4.3)

следует, что .

В противном случае векторы  называются линейно зависимыми. Если какой-нибудь вектор можно представить в виде , то говорят, что вектор  линейно выражается через векторы .

Теорема. Векторы  линейно зависимы тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные.

Следствие. Если векторы  линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через остальные; в частности, ни один из них не может быть нулевым.

Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Любые два неколлинеарных вектора  и  линейно независимы. В самом деле, предположим, неколлинеарные векторы  и  линейно зависимы. Тогда, по предыдущей теореме, один из них, например , линейно выражается через второй, т.е. , а это противоречит неколлинеарности  и . Следовательно,  и  - линейно независимы.

Пусть  и  неколлинеарные векторы,  ‑ произвольный вектор компланарный векторам  и . Отложим векторы  и  от одной точки , т.е. построим  (Рис.4.3).

Рис. 4.3.

Из параллелограмма  видно, что:

.

Следовательно, любые три компланарных вектора  и  линейно зависимы.

Любые три некомпланарных вектора  и  линейно независимы.


Пример. Изменить порядок интегрирования