Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 11

Уравнение прямой в отрезках

Пусть дано общее уравнение прямой:

, , , , тогда

(11.1)

.

- уравнение прямой в отрезках, где  - отрезки, которые отсекает прямая на соответствующих осях координа

Пример11.1.

Построить прямую, заданную общим уравнением . Написать уравнение этой прямой в отрезках.

 


.

60 Взаимное расположение прямых на плоскости

Утверждение 11. 1.

 Для того чтобы прямые  и , заданные уравнениями

  (*)

 совпадали, необходимо и достаточно, чтобы . (11.2)

Доказательство.

  и  совпадают  их направляющие вектора  и  коллинеарны, т.е.

(11.3)

.

Возьмем точку  этим прямым, тогда . Умножая первое уравнение на   и прибавляя ко второму в силу (11.2) получим:

(11.4)

.

Итак, формулы (11.2), (11.3) и (11.4) эквивалентны.

 Пусть выполняется (11.2), тогда уравнения системы (*) эквивалентны  соответствующие прямые совпадают. ■

Утверждение 11. 2.

Прямые  и , заданные уравнениями (*) параллельны и не совпадают тогда и только тогда, когда . (11.5)

Доказательство.

 Пусть  и не совпадают   несовместна, т.е. по теореме Кронекера-Капелли . Это возможно лишь при условии , , т.е. при выполнении условия (11.5).

 При выполнении первого равенства (11.5); невыполнение второго равенства дает несовместность системы (*) прямые параллельны и не совпадают. ■

Замечание 1. .

Полярная система координат

Зафиксируем на плоскости точку   и назовем ее полюсом. Луч , исходящий из полюса, назовем полярной осью. Выберем масштаб для измерения длин отрезков и условимся, что поворот вокруг т. против часовой стрелки будем считать положительным. Рассмотрим любую точку  на заданной плоскости, обозначим через   ее расстояние до полюса и назовем полярным радиусом. Угол, на который нужно повернуть полярную ось , чтобы она совпала с обозначим через  и назовем полярным углом.

Определение 11.3.

Полярными координатами точки  называется ее полярный радиус  и полярный угол : , , .

Замечание 2.  в полюсе. Значение  для точек, отличных от точки   определено с точностью до слагаемого , .

Рассмотрим декартовую прямоугольную систему координат: полюс совпадает с началом, а полярная ось – с положительной полуосью . Здесь . Тогда:

(11.6)

 -

связь между прямоугольной декартовой и полярной системами координат.

Пример 11.2.

 - уравнение лемнискаты Бернулли. Записать его в полярной системе координат.

, , , , .

70 Нормальное уравнение прямой на плоскости

Пусть полярная ось совпадает с ,  - ось, проходящая через начало координат . Пусть , . Пусть , тогда

(*)

Условие (**)  для того, чтобы точка .

 или

(11.7)

 -

уравнение прямой в полярной системе координат.

Здесь  - длина , проведенного от начала координат на прямую,   - угол наклона нормали к оси .

Уравнение (11.7) можно переписать: , т.к. , получим

(11.8)

 -

нормальное уравнение прямой на плоскости.

Покажем, как общее уравнение прямой привести к нормальному виду: пусть : , тогда нормальное уравнение получается умножением на нормирующий множитель :

.

 должны быть координатами единичного вектора. Это значит:

(11.9)

.

Знак  выбирается из условия: , т.е. если , .

Нормальное уравнение прямой удобно для нахождения расстояния от произвольной точки до прямой:

(11.10)

.

Пример 11.2.

 - общее уравнение. Написать нормальное уравнение.

, .

Умножим обе части исходного уравнения на : . Здесь .

Замечание 3. Формула (11.8) может быть записана в виде:

(11.10’)

.

80 Угол между двумя прямыми

Пусть даны две прямые: . Найти угол между этими прямыми:

  .

 или

(11.11)

.

Базис. Координаты вектора в базисе

Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор  на этой прямой. Любой другой вектор , коллинеарный данной прямой, может быть выражен через вектор  в виде .

Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора  и  этой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор , компланарный плоскости, на которой выбран базис , может быть представлен в виде .

Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора , взятые в определенном порядке. Такой базис обозначается. Пусть   ‑ произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис . Тогда существуют числа  такие, что:

(4.5)

Коэффициенты  называются координатами вектора   в базисе , а формула (4.5) есть разложение вектора   по данному базису.

Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.


Пример. Изменить порядок интегрирования