Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 12

Преобразование прямоугольных координат на плоскости

А) При переходе от системы координат  к новой , связь между старыми и новыми координатами некоторой точки  плоскости определяется следующими формулами:

(12.1)

 

Б) При повороте координатных осей

на   связь между

старыми и новыми координатами

выражается следующим образом:

c каждой из систем свяжем полярную

систему координат: .

Тогда:

Итак,

(12.2)

.

Замечание 1. Если поворот по часовой стрелке на , то в формуле (12.2) :

(12.2’)

.

Кривые второго порядка

Рассмотрим алгебраическое уравнение второй степени относительно   и:

(12.3)

,

где , , т.е.  одновременно не равны .

Уравнение (12.3) определяет кривую второго порядка.

10 Окружность.

Определение 12.1.

Геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемый центром, называется окружностью.

В  выберем произвольную точку , тогда если окружности, то

 

или

(12.4)

.

Если , то

(12.4’)

.

- каноническое (простейшее) уравнение окружности

Замечание 2.

Если , то окружность стягивается в точку . Если в правой части уравнения (12.4) (), то уравнение определяет мнимую окружность.

Выясним, при каких условиях равенство (12.3) определяет окружность, мнимую окружность или точку.

Для этого преобразуем равенство (12.4):

.

. Заметим  (*).

Чтобы уравнения (12.3) при условии (*) привести к каноническому виду (12.4), необходимо выделить полный квадрат относительно  и .

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел, любое действительное число   можно записать в виде .

Число  называется сопряженным числу  и обозначается .

Сумма и произведение сопряженных чисел являются числами действительными:

;

.

Число  называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа . Очевидно, что .

Свойства сопряжения:

;

.

Каждому комплексному числу   поставим в соответствие точку   плоскости, координатами которой в прямоугольной системе координат являются числа  и .

Рис. 3.1.

Тогда каждой точке  плоскости будет соответствовать единственное комплексное число . В результате получается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел C и множеством точек плоскости, которое позволяет отождествить произвольное комплексное число  с точкой плоскости, имеющей в выбранной системе координат координаты . При этом точки горизонтальной координатной оси  изображают действительные числа и поэтому эту ось называют действительной осью, а по вертикальной оси  откладываются мнимые части комплексных чисел, поэтому вертикальная ось  называется мнимой осью.


Пример. Изменить порядок интегрирования