Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Пример 12.1.

Уравнение окружности  привести к каноническому виду.

, , , .

20 Эллипс.

Геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек  и , называемых его фокусами, есть величина постоянная, и называется эллипсом.

Отметим на оси  две точки: ,  т.е.  (фокусное расстояние). Пусть   - произвольная точка эллипса.

Фокальными радиусами () точки  эллипса называются отрезки прямых, соединяющих эту точку с фокусами  и :

(12.5)

, где .

Выведем уравнение эллипса.

. По определению (12.2) имеем:

 - иррациональное уравнение.

, , , , , , т.к. , , т.е. ,

Введем обозначение  (12.5).

Тогда .

Поделим обе части на (), получим:

(12.6)

.

- каноническое уравнение эллипса.

Если точка  не принадлежит эллипсу, то , а это значит, что координаты точки  не удовлетворяют уравнению (12.6).

Проведем исследование полученного уравнения, для чего разрешим его относительно . ,

(12.6’)

.

Т.к.  и  в уравнение эллипса входят в четных степенях, то график функции симметричен как относительно , так и относительно . Т.о. исследование достаточно провести только для I четверти.

При , при . Если  на промежутке , то  на промежутке . Имеем дугу эллипса, .

Отрезок  называется большой полуосью,

отрезок  называется малой полуосью.

Замечание 3.

Уравнение (12.6) можно рассматривать и в случае , тогда  - большая полуось и фокусы эллипса лежат на оси .

Замечание 4.

В случае, когда , уравнение (12.6) вырождается в окружность с центром в начале координат .

Определение 12.3.

Отношение  (фокусного расстояния к длине большой оси) называется эксцентриситетом эллипса и обозначается

 (12.7)

Т.к. , то .

Эксцентриситет характеризует форму эллипса (степень сжатия).

Так, если полуось  фиксирована, то форма будет зависеть только от расстояния между фокусами. Если фокусы сближаются, то , т.к. . Если фокусы отодвигаются от начала координат, то эллипс сплющивается и когда фокусы совпадают с концами большой оси, эллипс вырождается в отрезок, для которого , т.к. .

Из формул для  и , а также (12.6’) можно получить формулы для фокальных радиусов:

(12.8)

.

Если центр эллипса перенести в точку , то уравнение эллипса примет вид: .

Замечание 5.

Уравнение  определяет мнимый эллипс.

Уравнение  - определяет точку.

Выясним, при каких коэффициентах алгебраическое уравнение (12.3) определяет эллипс, мнимый эллипс или пару мнимых пересекающихся прямых (точку).

, , .

Таким образом,  (**).

Расстояние от точки   до начала координат есть действительное неотрицательное число , которое называется модулем комплексного числа  и обозначается . Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки  называется аргументом  и обозначается . Для числа 0 аргумент не определен, для остальных комплексных чисел аргумент определяется с точностью до целых кратных , при этом положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

Пусть . Из рис. 3.1 ясно, что модуль числа  находится по формуле . Аргумент числа  определяется из равенств , .

Отсюда:

(3.1)

Запись числа  в виде (3.1) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если воспользоваться формулой Эйлера,

(3.2)

то от тригонометрической формы записи комплексного числа (3.2) несложно перейти к его показательной форме записи:

.

Пусть  и  ‑ сопряженные числа. Если , то . Геометрически  и  являются точками, симметричными относительно действительной оси (рис. 3.2). Отсюда вытекают равенства .

Перемножать и делить комплексные числа удобнее, если они представлены в тригонометрической форме:

(3.3)

В показательной форме:

При умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а модули перемножаются. Это правило верно для любого числа сомножителей.

Аналогично,

(3.4)

При выполнении деления комплексных чисел в тригонометрической форме их аргументы вычитаются, а модули нужно разделить.


Пример. Изменить порядок интегрирования