Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Пример 12.2.

Уравнение эллипса , привести к каноническому виду.

, , . Центр: , , , .

20 Гипербола.

Определение 12.4.

Геометрическое место точек, абсолютная величина разности каждой из которых до двух данных точек  и , называемых его фокусами, есть величина постоянная, и называется гиперболой.

(12.9)

Из   или .

Равенство (12.9) можно переписать в виде: , , , , , ,

(12.10)

.

- каноническое уравнение гиперболы

Если точка  не принадлежит гиперболе, то , то это значит, что координаты точки  не удовлетворяют уравнению (12.10).

Разрешим уравнение (12.10) относительно : ,

(12.10’)

.

По аналогии с эллипсом проведем исследование только для I четверти (симметрия относительно  и ).

. Значит в полосе между прямыми  и  нет ни одной точки гиперболы.

Покажем, что дуга гиперболы неограниченно приближается к прямой, определяемой уравнением  при ее неограниченном удалении от начала координат. Т.е. .

Действительно, .

Гипербола и прямая общих точек не имеют, т.к. система их уравнений не имеет решений.

Итак,

(12.11)

.

- асимптоты гиперболы

Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа

Используя формулу умножения комплексных чисел (3.3), получим формулу возведения комплексного числа в степень, называемую формулой Муавра:

(3.5)

Из нее следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель этой степени.

Перейдем к процедуре извлечения корней. Известно, что во множестве действительных чисел не из всякого действительного числа можно извлечь корень. Например,  не существует. В множестве комплексных чисел дело обстоит иначе.

Пусть . Комплексное число  называется корнем -й степени из , если , т.е.:

или

.

Модуль комплексного числа определяется однозначно, поэтому  или  (здесь имеется в виду арифметический корень).

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до . Следовательно, , а .

Таким образом, комплексное число , которое является корнем -й степени из  имеет вид:

(3.6)

Придавая  различные значения, мы не всегда будем получать различные корни. Действительно,  можно записать в виде , где . Тогда:

,

Т.е. значение аргумента при данном  отличается от значения аргумента при  на число, кратное . Следовательно, в формуле (2) можно ограничится лишь значениями . При таких значениях  получаются различные корни, так как разность между их аргументами по абсолютной величине меньше .

Итак, для каждого ненулевого числа   существует ровно  корней -й степени из .


Пример. Изменить порядок интегрирования