Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Парабола.

Определение 13.3.

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, называемой директрисой и точки, называемой фокусом.

Пусть дано: , : , .

Любая точка  принадлежит параболе  (), т.е. если ; , то

,   

(13.7)

 -

- каноническое уравнение параболы ().

Здесь  - параметр,  - вершина параболы, симметрична относительно оси , ветви направлены вправо.

 (13.8)

 

- уравнение директрисы.

Замечание 2.

Если фокус параболы расположен на оси , то уравнение будет иметь вид:   (13.9)

Замечание 3.

 - уравнение параболы с вершиной в точке .

Замечание 4. Частные случаи:

А)  - пара параллельных прямых;

Б)  - уравнение не определяет линию;

В)  - пара совпадающих прямых.

Выясним, при каких коэффициентах уравнение (12.3) определяет параболу

, , .

Возможно А=0 или С=0 т.е. . Таким образом: :

Пример 13.1

Определить вид кривой и построить ее: .

, . , но т.к. , то ветви направлены влево.

60 Упрощение общего уравнения второй степени.

Пусть кривая второго порядка задана уравнением

.

Перейдем к новым координатам по формулам

, т.е. повернем плоскость  на .

, где

,

,

.

Угол поворота выберем так, чтобы , т.е. ,    или

(13.9)

.

Если ,   , , .

Утверждение. Коэффициенты  и  одновременно в нуль не обращаются.

Доказательство.

Пусть     вычтем из первого второе, получим:

, , , . Т.о.   .

Это возможно только в случае , что противоречит условию .

Пример 13.2.

Определить вид, параметры и расположение линии, заданной уравнением .

, .

По формулам (19)  для системы координат .

,

, ,  - уравнение эллипса.   - перешли в систему , , .

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Векторы

Основные понятия:

скалярная величина; векторная величина; коллинеарные векторы; компланарные векторы; единичный вектор; сложение векторов; проекция вектора; линейная комбинация векторов; линейная зависимость векторов; базис; координаты вектора; базисные орты; правая система координат; направляющие косинусы; скалярное произведение; векторное произведение; смешанное произведение.

Основные понятия

Понятие вектора широко применяется в экономике, математике, физике и других науках, при этом одинаково широко используется как алгебраическая концепция изложения векторного анализа, так и его геометрическая интерпретация, в рамках которой различаются величины двух видов: скалярные и векторные.

Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, цена, количество проданного товара, стоимость и т.д.

Векторной величиной или вектором называется величина, для задания которой кроме численного значения необходимо указать и ее направление в пространстве, например, изменение темпов производства (рост или падение), колебание курса акций на бирже и т.д.

Векторная величина графически обычно изображается как связанный вектор или направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого указано, какая из ограничивающих точек является его началом, а какая концом. Но в отличие от направленного отрезка, для описания которого необходимо указать начальную точку, длину и направление, свободный вектор или просто вектор представляет собой множество всех эквивалентных между собой связанных векторов и вполне характеризуется:

направлением;

длиной (модулем).

Для задания такого множества достаточно указать какой-либо один из связанных векторов этого множества – представитель вектора, в качестве которого обычно выбирается связанный вектор с началом, совпадающим с началом координат.

Вектор обозначается одной маленькой буквой со стрелкой сверху, например, , или двумя буквами со стрелкой , где точка  есть начало вектора (его точка приложения), а  ‑ его конец.

Длина вектора называется его модулем, обозначается  или  и равна длине любого его представителя, т.е. расстоянию между начальной и конечной точками связного вектора . Вектор, длина которого равна нулю, называется нуль-вектором и обозначается .

Два вектора называются равными, если:

равны их длины;

они параллельны;

они направлены в одну сторону.

Иными словами, равные векторы получаются один из другого параллельным переносом в пространстве.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Орт обозначатся .


Пример. Изменить порядок интегрирования