Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 14

ТЕМА: Поверхности и линии в пространстве

Определение 14.1.

Уравнением поверхности (в фиксированной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты   любой точки данной поверхности и только они.

Здесь  – некоторая зависимость между переменными.

Пример 14.1.

 – уравнение сферы ().

10 Уравнение линии в пространстве

Определение 14.2.

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, поэтому она определяется двумя уравнениями:

.

Пример 14.2.

.

Линия, как пересечение поверхностей, определяет окружность, лежащую в плоскости  ().

20 Общее уравнение плоскости

2.1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Дано: ,  – нормальный вектор, .

Написать уравнение плоскости.

Выберем произвольную точку ,

тогда , , т.е.

(14.1)

– уравнение плоскости.

2.2. Общее уравнение плоскости

Из уравнения (14.1) с помощью элементарных преобразований получим:  или

(14.2)

– общее уравнение плоскости.

Очевидно, что общее уравнение плоскости является алгебраическим уравнением первого порядка относительно трех переменных  и определяет поверхность первого порядка.

Проведем исследование (положение плоскости в частных случаях).

А). , .

Т.к. координаты точки  - удовлетворяют данному уравнению, плоскость проходит через начало координат.

Б). , , , значит , следовательно .

Аналогично, если , ; , .

В). При , . Плоскость проходит через ось .

Аналогично, при  – плоскость проходит через ось ;

при  – плоскость проходит через ось .

Г). ,   . Данное уравнение определяет плоскость, параллельную , т.к. , , .

Аналогично,   , ;   , .

Д). ,  ().

Аналогично, ,  (); ,  ().

2.3.Уравнение плоскости в отрезках

, , .

(14.3)

.

– уравнение плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости по трем точкам

Пусть .

Выберем произвольную точку . Тогда , ,.

Т.к. векторы лежат в одной плоскости, они компланарны, следовательно их смешанное произведение равно нулю:  

(14.4)

.

– уравнение плоскости по трем точкам.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости строиться по аналогии с нормальным уравнением прямой и имеет вид:

. (14.5)

30 Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Пусть  - нормальный вектор для плоскости .

Утверждение 14.1.

Вектор  параллелен плоскости , заданный уравнением (14.2) тогда и только тогда, когда

. (14.6)

Утверждение 14.2.

Плоскость , заданная уравнением  и плоскость , заданная уравнением   параллельны тогда и только тогда, когда

. (14.7)

Доказательство.

Действительно, , если  и  коллинеарны, т.е. , , , т.е. . Верно и обратное.

Утверждение 14.3.

  Плоскости  и  совпадают тогда и только тогда, когда

. (14.8)

Утверждение 14.4.

Плоскости  и  пересекаются тогда и только тогда, когда  и  неколлинеарны, причем угол между ними равен углу между нормальными векторами.

Утверждение 14.5.

Пусть плоскости  и  пересекаются по прямой, тогда плоскость   проходит через эту прямую, причем ее уравнение имеет вид:

, где  одновременно. (14.9)

Линейные операции над векторами

Сложение вектора производится по правилу параллелограмма: векторы  и  сносятся в общую точку  (рис. 4.1), на них строят параллелограмм  и его диагональ  называют суммой векторов  и .

Рис. 4.1.

Поскольку вектор   равен , то можно дать другое правило нахождения суммы  (правило треугольника): суммой векторов  и  является вектор, идущий из начала  в конец , если вектор  приложен к концу вектора , т.е.:

(4.1)

Это правило распространяется на любое число слагаемых: если векторы  образуют ломаную , то суммой этих векторов является вектор , замыкающий эту ломаную, т.е.:

(4.2)

В частности, если ломаная замыкается, т.е. , то сумма ее звеньев равна нуль-вектору .

Сложение векторов подчиняется обычным законам сложения ‑ сочетательному и переместительному, а также обладает обратной операцией – вычитанием.

Разностью двух векторов   и , отложенных от одной точки  является вектор, направленный из конца вычитаемого вектора  в конец уменьшаемого вектора , т.е.   (Рис. 4.2.). Это правило следует из формулы (1): т.к. , то .

Рис. 4.2.

Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры).

Вектор  равен , где  ‑ некоторое число, если:

 коллинеарен ;

длина вектора  отличается от длины вектора  в  раз, т.е. ;

при ,  и  направлены в одну сторону, при  ‑ в разные.

Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами:

;

;

;

;

.


Пример. Изменить порядок интегрирования