Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 15

Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве

1). Найти угол между прямой и плоскостью.

Углом между  и  называется угол между  и ее проекцией на .

. . Тогда

(15.1)

 или .

2). Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки  на прямую , заданную уравнением  и найти расстояние от точки до прямой.

Построим плоскость , содержащую точку  и прямую . Уравнение этой плоскости имеет вид:  Построим также плоскость , проходящую через точку , перпендикулярно прямой :

.

Система этих двух уравнений и дает искомый перпендикуляр.

. (15.2)

3). Написать уравнение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым  и .

Пусть ,  и , , тогда  - является направляющим вектором искомого перпендикуляра.

а)  - вектор нормали плоскости , которая содержит прямую  и  (или содержит искомый перпендикуляр).

,

Система этих двух уравнений задает искомый перпендикуляр.

Замечание: 1) , т.е. .

2) , т.е. .

Поверхности II порядка

Алгебраическое уравнение II степени относительно 3-х переменных   вида:

(*)

,

где , ,

определяет поверхность II порядка.

Будем изучать случаи, когда . Уравнение (*) при перечисленных условиях может определять сферу, эллипсоид, параболоид, цилиндрическую поверхность, коническую поверхность и гиперболоиды в зависимости от коэффициентов.

I тип задач

(по геометрическим свойствам поверхности определяется уравнение)

Лекция 5. Прямая

Основные понятия:

векторное параметрическое уравнение прямой; параметрические уравнения прямой в пространстве; канонические уравнения прямой; направляющий вектор прямой.

Основные понятия

Прямая  в пространстве может быть однозначно определена, если известна точка, принадлежащая прямой, и ненулевой вектор, параллельный прямой (направляющий вектор прямой).

Пусть задана такая точка  и вектор  (Рис. 5.1).

Если  ‑ произвольная текущая точка прямой , то вектор  коллинеарен вектору  и их соответствующие координаты пропорциональны.

(5.1)

Этим соотношениям удовлетворяют координаты любой точки прямой  и только этой прямой. Равенства (5.1) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Обозначим  радиус-вектор точки ,  ‑ радиус-вектор точки . Тогда:

(5.2)

В силу коллинеарности векторов   и  существует число  такое, что . Тогда из (5.2) получим векторное параметрическое уравнение прямой:

(5.3)

В координатной форме уравнение (5.3) равносильно трем уравнениям:

, ,

(5.4)

которые называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Исключая из уравнений (5.4) параметр , легко перейти к каноническим уравнениям прямой (5.1).

Обратный переход от (5.1) к (5.4) осуществляют, приравнивая каждое из трех соотношений (5.1) к . При этом, если знаменатель какого-либо соотношения равен нулю, то необходимо приравнять к нулю его числитель.

Пусть заданы точки  и . Составим уравнение прямой, проходящей через заданные точки, пользуясь
рис. 5.1.

Очевидно, что в этом случае направляющим вектором прямой  будет вектор . Используя (5.1), получаем искомые уравнения в виде:

(5.5)

Прямую  в пространстве можно определить как пересечение двух плоскостей. Рассматривая совместно уравнения этих плоскостей, получим уравнение линии  в общем виде:

(5.6)

Система двух уравнений первой степени (5.6) определяет прямую линию при условии, что нормальные векторы   и  неколлинеарны. Только в этом случае плоскости будут пересекаться. Уравнения (5.6) носят название «общее уравнение прямой в пространстве».

Чтобы перейти от общих уравнений прямой (5.6) к ее каноническим уравнениям (5.1), нужно на прямой найти какую-нибудь точку  и определить ее направляющий вектор .

Точку  находят, давая произвольное значение одной из переменных ,   или . Решая систему (5.6), получают значения оставшихся двух переменных.

Направляющий вектор   параллелен линии пересечения плоскостей (5.6) и, следовательно, перпендикулярен обоим нормальным векторам плоскостей:

.

Поэтому в качестве   можно взять вектор:

(5.7)


Пример. Изменить порядок интегрирования