Сфера
Определение 15.1.
Множество точек пространства, равноудаленных
от данной точки 
, называемой центром,
называется сферой.
Выберем произвольную точку 
принадлежащую сфере, тогда 
или
|
(15.3) |
|
- каноническое уравнение
сферы с центром 
и радиусом 
.
Цилиндрические поверхности
Определение 15.2
Цилиндрической поверхностью
называется поверхность, описываемая прямой 
(образующей), движущейся вдоль некоторой линии 
(направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению.
Если
, то 
- определяет линию в плоскости 
.
(не содержит переменной 
).
Цилиндром II-го порядка называется цилиндрическая поверхность, направляющими которой являются эллипс, гипербола, парабола:
А) Эллиптический цилиндр.
|
|
|
Б) Гиперболический цилиндр.
|
|
|
В) Параболический цилиндр.
|
|
|
Конические поверхности
Определение 15.3
Поверхность, образованная прямыми, пересекающимися в одной точке и
проходящими через каждую точку линии - называется конической поверхностью.
|
|
|
II тип задач
(по виду уравнения определяются свойства поверхности)
Основным методом решения таких задач является метод сечений, который заключается в поиске линий пересечений данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
Эллипсоид
Определение 15.4.
Эллипсоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением
. (15.4)
Установим геометрический вид эллипсоида.
Рассмотрим
сечения эллипсоида плоскостями параллельными (
число).
Линия сечения определяется системой:
|
(**) |
|
. Исследуем (**).
А)
, тогда 
- эллипс в плоскости , причем самый большой.
Б) 
, тогда 
- линия (**) вырождается в точки 
.
(плоскости 
касаются эллипсоида)
В) 
, тогда 
.
Таким образом, плоскость 
пересекает эллипсоид по эллипсу, причем, если 
, то 
, поэтому при 
, получается самый большой эллипс.
Г)
, то 
- мнимый эллипс, точек пересечения с не 
.
- полуоси эллипсоида. Если 
, то эллипсоид является сферой.
Аналогично, если
или 
.
Однополостной гиперболоид
Определение 15.5
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением
. (15.5)
Установим его геометрический вид.
Рассмотрим сечения с координатными плоскостями:
и 
(В сечения получаются гиперболы)
Также рассмотрим сечения поверхности
плоскостями :
.
А) , - самый маленький эллипс.
Б) 
, 
.
В) , 
, 
, то .
Г) , 
, то 
.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют
изобразить однополостной гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся
по мере удаления. - полуоси (чтобы изобразить 
, следует построить основной прямоугольник
какой-нибудь из гипербол).
Взаимное расположение прямых
Пусть даны две прямые:
и 
.
Эти прямые заданы своими точками 
и 
и направляющими векторами 
и 
. Поэтому:
.
Параллельность или перпендикулярность прямых равносильна, соответственно, параллельности или перпендикулярности их направляющих векторов. Поэтому условие перпендикулярности прямых можно записать в виде:
или 
.
Условие параллельности: 
.
Возможны четыре случая взаимного расположения прямых:
Прямые совпадают: 
,
т.е.
.
Прямые параллельны: 
непараллелен 
, но 
, т.е. 
.
Прямые пересекаются:
непараллелен 
, но , , ‑ компланарны, т.е.
|
|
(5.8) |
Прямые скрещиваются: ,
, ‑ некомпланарны, т.е. 
.
Условие (5.8) выполняется в случаях I-III и означает, что прямые лежат в одной плоскости.
Контрольные вопросы к лекции №5
Общее уравнение прямой.
Понятие направляющего и нормального вектора прямой.
Каноническое уравнение прямой.
Векторное параметрическое уравнение прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Расчет угла между прямыми.
Условия пересечения, параллельности и перпендикулярности прямых.