Сфера
Определение 15.1.
Множество точек пространства, равноудаленных от данной точки
, называемой центром, называется сферой.
Выберем произвольную точку
принадлежащую сфере, тогда
или
(15.3)
- каноническое уравнение сферы с центром
и радиусом
.
Цилиндрические поверхности
Определение 15.2
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой
(образующей), движущейся вдоль некоторой линии
(направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению.
Если
, то
- определяет линию в плоскости
.
(не содержит переменной
).
Цилиндром II-го порядка называется цилиндрическая поверхность, направляющими которой являются эллипс, гипербола, парабола:
А) Эллиптический цилиндр.
Б) Гиперболический цилиндр.
В) Параболический цилиндр.
Конические поверхности
Определение 15.3
Поверхность, образованная прямыми, пересекающимися в одной точке и проходящими через каждую точку линии
- называется конической поверхностью.
II тип задач
(по виду уравнения определяются свойства поверхности)
Основным методом решения таких задач является метод сечений, который заключается в поиске линий пересечений данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
Эллипсоид
Определение 15.4.
Эллипсоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением
. (15.4)
Установим геометрический вид эллипсоида.
Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями параллельными
(
![]()
число).
Линия сечения определяется системой:
(**)
.
Исследуем (**).
А)
, тогда
- эллипс в плоскости
, причем самый большой.
Б)
, тогда
- линия (**) вырождается в точки
.
(плоскости
касаются эллипсоида)
В)
, тогда
.
Таким образом, плоскость
пересекает эллипсоид по эллипсу, причем, если
, то
, поэтому при
, получается самый большой эллипс.
Г)
, то
- мнимый эллипс, точек пересечения с
не
.
- полуоси эллипсоида. Если
, то эллипсоид является сферой.
Аналогично, если
или
.
Однополостной гиперболоид
Определение 15.5
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением
. (15.5)
Установим его геометрический вид.
Рассмотрим сечения с координатными плоскостями:
и
(В сечения получаются гиперболы)
Также рассмотрим сечения поверхности плоскостями
:
.
А)
,
- самый маленький эллипс.
Б)
,
.
В)
,
,
, то
.
Г)
,
, то
.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополостной гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления.
- полуоси (чтобы изобразить
, следует построить основной прямоугольник какой-нибудь из гипербол).
Взаимное расположение прямых
Пусть даны две прямые:
и
.
Эти прямые заданы своими точками
и
и направляющими векторами
и
. Поэтому:
.
Параллельность или перпендикулярность прямых равносильна, соответственно, параллельности или перпендикулярности их направляющих векторов. Поэтому условие перпендикулярности прямых можно записать в виде:
или
.
Условие параллельности:
.
Возможны четыре случая взаимного расположения прямых:
Прямые совпадают:
, т.е.
.
Прямые параллельны:
непараллелен
, но
, т.е.
.
Прямые пересекаются:
непараллелен
, но
,
,
‑ компланарны, т.е.
(5.8)
Прямые скрещиваются:
,
,
‑ некомпланарны, т.е.
.
Условие (5.8) выполняется в случаях I-III и означает, что прямые лежат в одной плоскости.
Контрольные вопросы к лекции №5
Общее уравнение прямой.
Понятие направляющего и нормального вектора прямой.
Каноническое уравнение прямой.
Векторное параметрическое уравнение прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Расчет угла между прямыми.
Условия пересечения, параллельности и перпендикулярности прямых.