Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Сфера

Определение 15.1.

Множество точек пространства, равноудаленных от данной точки , называемой центром, называется сферой.

Выберем произвольную точку  принадлежащую сфере, тогда  или

(15.3)

- каноническое уравнение сферы с центром  и радиусом .

Цилиндрические поверхности

Определение 15.2

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой  (образующей), движущейся вдоль некоторой линии  (направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению.

Если , то  - определяет линию в плоскости .

 (не содержит переменной ).

Цилиндром II-го порядка называется цилиндрическая поверхность, направляющими которой являются эллипс, гипербола, парабола:

А) Эллиптический цилиндр.

Б) Гиперболический цилиндр.

В) Параболический цилиндр.

Конические поверхности

Определение 15.3

Поверхность, образованная прямыми, пересекающимися в одной точке и проходящими через каждую точку линии  - называется конической поверхностью.

II тип задач

(по виду уравнения определяются свойства поверхности)

Основным методом решения таких задач является метод сечений, который заключается в поиске линий пересечений данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

Эллипсоид

Определение 15.4.

Эллипсоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

. (15.4)

Установим геометрический вид эллипсоида.

Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями параллельными  (  число).

Линия сечения определяется системой:

(**)

.

Исследуем (**).

А) , тогда  - эллипс в плоскости , причем самый большой.

Б) , тогда  - линия (**) вырождается в точки .

(плоскости  касаются эллипсоида)

В) , тогда .

Таким образом, плоскость  пересекает эллипсоид по эллипсу, причем, если , то , поэтому при , получается самый большой эллипс.

Г) , то  - мнимый эллипс, точек пересечения с  не .

 - полуоси эллипсоида. Если , то эллипсоид является сферой.

Аналогично, если  или .

Однополостной гиперболоид

Определение 15.5

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

. (15.5)

Установим его геометрический вид.

Рассмотрим сечения с координатными плоскостями:

 и  (В сечения получаются гиперболы)

Также рассмотрим сечения поверхности плоскостями :

.

А) ,  - самый маленький эллипс.

Б) , .

В) , , , то .

Г) , , то .

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополостной гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления.  - полуоси (чтобы изобразить , следует построить основной прямоугольник какой-нибудь из гипербол).

Взаимное расположение прямых

Пусть даны две прямые:

 и .

Эти прямые заданы своими точками   и  и направляющими векторами  и . Поэтому:

.

Параллельность или перпендикулярность прямых равносильна, соответственно, параллельности или перпендикулярности их направляющих векторов. Поэтому условие перпендикулярности прямых можно записать в виде:

 или .

Условие параллельности: .

Возможны четыре случая взаимного расположения прямых:

Прямые совпадают: , т.е.

 .

Прямые параллельны:   непараллелен , но , т.е. .

Прямые пересекаются:   непараллелен , но , ,  ‑ компланарны, т.е.

(5.8)

Прямые скрещиваются: , ,  ‑ некомпланарны, т.е. .

Условие (5.8) выполняется в случаях I-III и означает, что прямые лежат в одной плоскости.

Контрольные вопросы к лекции №5

Общее уравнение прямой.

Понятие направляющего и нормального вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой.

Векторное параметрическое уравнение прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Расчет угла между прямыми.

Условия пересечения, параллельности и перпендикулярности прямых.


Пример. Изменить порядок интегрирования