Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 16

6) Двуполостный гиперболоид

Определение 16.1.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

. (16.1)

С помощью аналогичного исследования нетрудно установить вид поверхности.

В сечениях плоскости oXZ (y=o) и oYZ (x=0) получаются гиперболы

.

При сечениях z=h:

а) при  плоскость пересекает поверхность по эллипсу;

б) при  плоскости  касаются поверхности в точках (0;0;);

в) при  точек пересечения плоскости  с поверхностью не существует (мнимый эллипс).

Итак, двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных «полостей», каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши.
7) Эллиптический параболоид

Определение 16.2.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

 где - параметры. (16.2)

С помощью сечений исследуем эту поверхность:

1)  и  (16.3).

(В сечениях параболы: OZ – ось симметрии, O(0;0;0) – вершина)

2)  

а) при h>0 сечения – эллипсы;

б) при h=0 плоскость z=0 касается параболоида (эллипс вырождается в точку);

в) при h<0 – мнимый эллипс.

Подпись: Эллиптический параболоид – бесконечно выпуклая чашаЕсли p=q, эллиптический параболоид можно рассматривать, как поверхность, образованную вращением параболы вокруг ее оси (параболоид вращения).

8) Гиперболический параболоид

Определение 16.3.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

 (p,q>0). (16.3)

Установим геометрический вид поверхности:

Рассмотрим сечения:

1) . В сечении парабола, OZ – ось симметрии, ветви направлены вверх, вершина – в начале координат.

2). В сечении – такие же (как в (1)) параболы .

3) . В сечении парабола, OZ – ось симметрии, ветви направлены вниз, вершина – в начале координат.

4) . В сечении  такие же параболы, как в (3).

5)  или .

а) приh>0 в сечении гиперболы в плоскости OXZ;

б) при h<0 в сечении гиперболы в плоскости OYZ;

в) при h=0 в сечении гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых.

Таким образом имеем седлообразную поверхность.

(0;0;0) – вершина, p,q – параметры.

Лекция 6. Плоскость

Основные понятия:

поверхность; поверхность -го порядка; общее уравнение плоскости; нормальный вектор плоскости; уравнение плоскости в отрезках; нормальное уравнение плоскости; отклонением точки от плоскости.

Основные понятия

Всякая поверхность в пространстве задается в декартовых координатах уравнением вида .

Если  ‑ многочлен -й степени, то соответствующая поверхность называется алгебраической поверхностью -го порядка или просто поверхностью -го порядка.

Всякая поверхность 1-го порядка есть плоскость, т.е. всякое уравнение 1-й степени:

(6.1)

определяет плоскость. Уравнение (6.1) называется общим уравнением плоскости.

Вектор , координатами которого являются коэффициенты при  в уравнении (6.1), перпендикулярен плоскости (6.1) по свойству скалярного произведения векторов. Этот факт будет постоянно использоваться в дальнейшем. Вектор   называют нормальным вектором плоскости (6.1).

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку  перпендикулярно вектору , имеет вид:

(6.2)

Очевидно, что уравнение (6.1) имеет смысл только тогда, когда хотя бы один из коэффициентов  не равен нулю.


Рассмотрим частные случаи.

I. D ≠ 0.

Если , то уравнение  определяет плоскость, параллельную оси , так как вектор нормали к этой плоскости  перпендикулярен оси   (проекция ненулевого вектора на ось равна нулю тогда, когда он перпендикулярен этой оси).

Аналогично, если , то уравнение  определяет плоскость, параллельную оси .

Если . То уравнение  определяет плоскость, параллельную оси .

Если , то уравнение  или  определяет плоскость, параллельную плоскости . В этом случае вектор нормали  перпендикулярен к осям  и , т.е. к плоскости .

При  имеем  или  ‑ уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости .

Если , то уравнение  или  определяет плоскость, параллельную плоскости .

II. D = 0.

Если , то уравнение  определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки  удовлетворяют этому уравнению.

Если , то уравнение  определяет плоскость, вектор нормали которой . Эта плоскость проходит через ось .

Аналогично, если , то уравнение  определяет плоскость, проходящую через ось .

Если , то уравнение  определяет плоскость, проходящую через ось .

Если , то уравнение  или  определяет плоскость . Аналогично, уравнения  и  определяют соответственно плоскости  и .

Если в уравнении (6.1) все коэффициенты   отличны от нуля, то это уравнение может быть преобразовано к уравнению плоскости в отрезках:

(6.3)

Здесь  ‑ величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.


Пример. Изменить порядок интегрирования >