Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Математический анализ

Элементы теории множеств

Логические символы

В математике понятия множества первично (не определяется).

Синонимы: совокупность, система, набор, семейство и т.п.

Обозначения: A,B,X,… .

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами или точками.

Обозначения: x, y, α, β,… .

Обозначения с помощью логической символики

1)  (из того, что  следует, что )

2)  (α и β эквивалентны, (то есть   и )).

Пример 16.1.

Предложение α: два вектора перпендикулярны.

Предложение β: скалярное произведение двух векторов равно нулю.

3)  

(для любого элемента x из множества X имеет место предложение α)

 – квантор всеобщности.

4)  

(существует элемент x из множества X, для которого имеет место предложение)

 – квантор существования.

5)  – отрицание предложения .

Определение 16.4.

Y подмножество X, если в Y нет элементов, не принадлежащих X или:

(X содержит Y).

Определение 16.5.

X=Y, если множества состоят из одних и тех же элементов:

6)  – пустое множество. Не содержит ни одного элемента.

16.2. Операции над множествами

Определение 16.6.

Множество, каждый элемент которого является элементом множества A или B, называется объединением множеств A и B:

 (логическое сложение).

Определение 16.7.

Множество, каждый элемент которого является элементом множества A и B, называется пересечением множеств A и B:

 (логическое умножение).

Определение 16.8.

Множество, каждый элемент которого является элементом множества A и не является элементом множества B, называется разностью множеств

A и B.

.

Свойства множеств

10 ,  – коммутативность;

20 а)   – ассоциативность;

 б)

30 а) ; б)

40 а)

б)  – дистрибутивность;

Числовые множества

Числовые множества – множества, объектами которых являются числа.

Пример 16.2.

1) ; 2) ; 3) Q; 4) R;

5) ;

6) .

16.3 Окрестности точки х0 как особый вид множества

Пусть x0 ,

тогда  - окрестностью х0 называется интервал:

Число  называется радиусом окрестности.

Заметим: ,

где  – проколотая окрестность точки x0

Очевидно,

Введем понятие бесконечно удаленных точек.

Пусть задано сколь угодно большое число M>0.

Определение 16.9.

Окрестностью элемента + называется множество тех точек x, для которых x>M или:

.

Определение 16.10.

Окрестностью элемента - называется множество тех точек x, для которых x<-M или:

.

Определение 16.11.

Окрестностью элемента  называется множество тех точек x, для которых |x|>M или:

.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется уравнение:

,

(6.4)

где  ‑ углы между перпендикуляром, опущенным из начала координат на плоскость, и положительным направлением осей координат, а  ‑ расстояние от плоскости до начала координат.

Нормальное уравнение отличается от общего уравнения тем, что в нем коэффициенты при  являются координатами единичного вектора , перпендикулярного плоскости, а свободный член – отрицательный.

Общее уравнение (1) приводится к нормальному виду умножением его на нормирующий множитель , при этом знак выбирается противоположным знаку свободного члена  (если , знак можно выбрать любой).

Отклонением  точки  от плоскости называется ее расстояние  от плоскости, взятое со знаком плюс, если точка  и начало координат  лежат по разные стороны от плоскости (Рис. 6.1), и со знаком минус – если  и  лежат по одну сторону от плоскости.

Отклонение точки  от плоскости определяется по формуле .

Следовательно, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, надо привести уравнение плоскости к нормальному виду и в его левую часть вместо  подставить координаты точки . Получим отклонение . А расстояние .


Пример. Изменить порядок интегрирования