Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Пример 17.4.

Показать, что последовательность  не имеет предела. Действительно, пусть а – предел xn..

Выберем интервал  с длиной . Расстояние между -1 и 1 равно 2 и, следовательно, они оба не могут попадать в этот интервал.

Основные свойства сходящихся последовательностей

Теорема 17.2.

Если последовательность {xn} имеет предел, то он единственный.

Доказательство

Пусть {xn} имеет два предела a и b. Накроем их интервалами(c,d) и (e,f) (т.е. ) Т.к. a=lim xn , то все элементы {xn} начиная с некоторого номера лежат в (c,d) и значит это противоречит тому, что b – предел.

Теорема 17.3.

Если последовательность {xn} сходится, то она ограничена.

Доказательство

Пусть . Зададим . Тогда : .

Известно, что ,

поэтому<1

.

Пусть ,

тогда очевидно, что .

17.2. Арифметические действия над последовательностями, имеющими предел

Замечание 1.

Пусть , тогда  - бесконечно малая последовательность.

Действительно, .

Это значит, что любой элемент последовательности {xn}, имеющей пределом число , можно представить в виде:

 (17.1).

Замечание 2.

Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.

Замечание 3.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Замечание 4.

Так как , то .

Теорема 17.4.

Если существуют конечные пределы последовательностей  и , то справедливы равенства:

1)  (17.2)

2)  (17.3) 

3)  если  (17.4).

Доказательство

Идея доказательства построена на неравенстве:

.

Пусть , . Тогда согласно равенству (17.1):

1) - бесконечно малая последовательность (согласно 17.1);

2)  (бесконечно малая последовательность);

3)  (бесконечно малая последовательность).

Монотонные последовательности

Определение 17.4.

1)Последовательность {xn} называется возрастающей, если .

2) Последовательность {xn}  называется неубывающей, если .

3) Последовательность {xn}  называется убывающей, если .

4) Последовательность {xn}  называется невозрастающей, если .

Все такие последовательности объединяются общим названием - монотонные последовательности.

Пример 17.5.

Определить виды последовательностей:

1; 1/2; 1/3; …(убывающая, ограниченная);

1; 1; ½; ½; 1/3; 1/3; …(невозрастающая, ограниченная);

1; 2; 3; …;n;…(возрастающая, неограниченная);

1; 1; 2; 2; 3; 3; …;n; n;…(неубывающая, неограниченная);

½; 2/3; ¾; …; n/(n+1);…( возрастающая, ограниченная).

Отметим, что монотонные последовательности ограничены, по крайней мере, с одной стороны.

Теорема 17.5.

Если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон, т.е. просто ограничена, то она сходится.

Замечание 5.

Из теорем 17.3 и 17.5 следует, что ограниченность монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходимости.

Направляющие косинусы

Пусть дан вектор . Единичный вектор того же направления, что и   (орт вектора ) находится по формуле:

.

Пусть ось  образует с осями координат углы . Направляющими косинусами оси   называются косинусы этих углов: . Если направление  задано единичным вектором , то направляющие косинусы служат его координатами, т.е.:

.

Направляющие косинусы связаны между собой соотношением:

.

Если направление   задано произвольным вектором , то находят орт этого вектора и, сравнивая его с выражением для единичного вектора , получают:


Пример. Изменить порядок интегрирования