Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 18

Число е

Рассмотрим последовательность {xn} с общим членом .

Докажем, что она сходится.

Для этого достаточно доказать:

{xn} возрастающая;

{xn} ограничена сверху.

Рассмотрим  и докажем, что последовательность {yn} убывает, т.е .

Докажем, что она сходится.

Доказательство

Замечание1. Неравенство (*) верно: знаменатель увеличили, дробь уменьшилась.

Обозначим .

Итак, , т.е. последовательность {yn} убывающая.

Так как , то последовательность ограничена, т.е. существует предел последовательности .

Замечание2. В доказательстве использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической последовательности:  

Обозначим

Таким образом .

 называют вторым замечательным пределом

Функции одной переменной

Понятие функции

Определение 18.1.

Пусть x и y – некоторые числовые множества. Если каждому элементу множества X единственным образом соответствует элемент множества Y, то это соответствие называется функцией.

Обозначение: .

Здесь y – зависимая переменная, х – независимая переменная (аргумент)

X – обл. определения (существования) функции (D(f));

Y – множество значений функции (E(f)).

Определение 18.2.

Пусть f(x) определена на некотором множестве X.

f(x) ограничена сверху (снизу), если:

.

Условие ограниченности:.

Пример 18.1.

Показать, что  – ограниченная функция.

().

Способы задания функции

Аналитический

При аналитическом способе задания функция задается с помощью формул:

А) в явном виде

Функция разрешена относительно y: .

Б) в неявном виде

Функция не разрешена относительно y:.

В некоторых случаях от неявно заданной функции можно перейти к явному виду, иногда это сделать невозможно:

Пример 18.2.

.

При аналитическом способе функцию можно задать:

а) несколькими выражениями:

Пример 18.3.  Signum (лат.)-знак.

б) параметрически:

При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Длина вектора  равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

.

(4.8)

Длина вектора , заданного координатами своих концов, т.е. расстояние между точками  и  вычисляется по формуле:

.

(4.9)

Если  и  коллинеарны, то они отличаются друг от друга скалярным множителем. Следовательно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

.

(4.10)

Пусть точка  делит отрезок между точками  и  в отношении , тогда радиус-вектор точки  выражается через радиусы-векторы  и  его концов по формуле: .

Отсюда получаются координатные формулы:

.

В частности, если точка   делит отрезок  пополам, то  и , т.е. .

Скалярное произведение

Скалярными произведением  двух векторов   и  называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

;

;

;

Если  и  ‑ ненулевые векторы, то тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если , то угол между   и  - острый, если , то угол - тупой;

Скалярный квадрат вектора  равен квадрату его длины, т.е. .

Следовательно, .

Геометрический смысл скалярного произведения: скалярное произведение вектора на единичный вектор   равно проекции вектора  на направление, определяемое , т.е. .

Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов :

.

Если векторы заданы своими координатами  и , т.е. , , то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведения  через координаты векторов:

.


Пример. Изменить порядок интегрирования