Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Односторонние пределы

Определение 18.4.

Если у любой сходящейся к точке  последовательности  все ее элементы меньше , а соответствующая последовательность  сходится к , то число  называется левым пределом функции .

Обозначение: .

Определение 18.5.

Если у любой сходящейся к  последовательности  все ее элементы больше , а соответствующая последовательность  сходится к , то число  называется правым пределом функции f(x):

Обозначение: .

Утверждение.

Функция  имеет предел в точке  тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы справа и слева и они равны .

Пример 18.9.

. Найти .

 

.

 

.

Векторное произведение

Векторным произведением вектора   на вектор  называется вектор , длина и направление которого определяется условиями:

, где  ‑ угол между  и ;

 перпендикулярен каждому из векторов  и ;

 направлен так, что кратчайший поворот от   к  виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

;

;

;

Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда  и  коллинеарны. В частности,  для любого вектора ;

Если  и  неколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма  построенного на этих векторах, как на сторонах.

Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов. Надо только следить за тем, чтобы порядок следования множителей не менялся.

Основные орты перемножаются следующим образом:

.

Если  и , то c учетом свойств векторного произведения векторов, можно вывести правило вычисления координат векторного произведения по координатам векторов-сомножителей:

.

Если принять во внимание полученные выше правила перемножения ортов, то:

(4.11)

Более компактную форму записи выражения для вычисления координат векторного произведения двух векторов можно построить, если ввести понятие определителя матрицы.

Рассмотрим частный случай, когда вектора  и  принадлежат плоскости , т.е. их можно представить как  и .


Пример. Изменить порядок интегрирования