Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 19

Предел функции на бесконечности

Определение 19.1.

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность сходится к А.

.

Определение 19.2.

Число А называется пределом функции f(x) при

если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы  которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

19.2. Некоторые свойства функций, имеющих предел

Теорема 19.1 (об ограниченности функций, имеющих предел)

Если , то существует некоторая проколотая окрестность этой точки , в которой функция ограничена.

Доказательство

Пусть  .

Теорема 19.2.

Если , то .

Теорема 19.3.

Если в некоторой окрестности точки , то .

Теорема19.4(арифметические операции над функциями, имеющими предел).

Если существуют  и  то существуют конечные пределы   , если , причем  ,  (19.1).

 

Доказательство

Для любой последовательности  формулы (19.1) справедливы, следовательно: .

По определению 18.1 .

Остальные формулы доказываются аналогично.

Следствие.

Если существует , то существует , где .

Теорема 19.5.

Пусть  определены в некотором множестве X.

Пусть для любого  из некоторого промежутка, содержащего точку  выполняются неравенства  и  имеют одинаковые пределы при   тогда функция  имеет тот же предел при .

19.3 Два замечательных предела

Докажем, что  (первый замечательный предел).

Рассмотрим дугу окружности OA=R=1 c центральным углом  

Тогда MK=sin x, AN=tg x.

,

,

,

,

.

Так как функции  и  имеют в точке равный единице предел, то в силу теоремы 19.5:

, т.е. 1 – правый предел.

Так как  – четная функция, то .

Пример 19.1

Вычислить .

.

Заметим  – второй замечательный предел.

Если координаты векторов записать в виде таблицы следующим образом: , то можно сказать, что из них сформирована квадратная матрица второго порядка, т.е. размером , состоящая из двух строк и двух столбцов. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, которое вычисляется из элементов матрицы по определенным правилам и называется определителем. Определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и побочной диагонали:

.

В таком случае:

Абсолютная величина определителя, таким образом, равна площади параллелограмма, построенного на векторах   и , как на сторонах.

Если сравнить это выражение с формулой векторного произведения (4.7), то:

(4.12)

Это выражение представляет собой формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка по первой строке.

Таким образом:

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:

и представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых.

Формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка легко запомнить, если воспользоваться правилом Саррюса, которое формулируется следующим образом:

Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы;

Знак “плюс” имеют произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали;

Знак “минус” имеют произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.

 


Пример. Изменить порядок интегрирования