Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 19.3

 – бесконечно малая функция, если .

Свойства бесконечно малых функций

.

. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при  является бесконечно малой функцией при .

. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

Определение 19.4

 – бесконечно большая функция при , если:

.

Замечание 1. Бесконечно большая функция не имеет предела при , но условно говорят:.

Пример 19.2.

. Доказать, что  – бесконечно большая функция.

Замечание 2. Выражения вида  называются неопределенностью.

19.5 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Рассмотрим функции  и , заданные в проколотой окрестности точки ().

Определение 19.5.

Если , то говорят, что эквивалентна  при  .

Определение 19.6.

Если и  – бесконечно малые (бесконечно большие) функции при   и ,то говорят, что они бесконечно малые (бесконечно большие) функции одного порядка.

Определение 19.7

Если f(x) и g(x) – бесконечно малые (бесконечно большие) функции при   и , то говорят, что – бесконечно малая функция более высокого порядка, чем .

( бесконечно большая функция менее высокого порядка, чем ).

Замечание 3. В случае бесконечно малых функций часто используют символ «о»: .

В примере 19.1.

Теорема 19.6. (замена функций эквивалентными при вычислении пределов)

Пусть  при  и  определена в проколотой окрестности точки а(). Тогда, если существует  и существует , то существуют , и они равны предыдущим.

Доказательство

1). Пусть существует , тогда

.

2) .

Пример 19.3.

Вычислить .

Парабола

Параболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки   (фокуса) и данной прямой  (директрисы).

Для вывода канонического уравнения параболы ось  проводят через фокус  перпендикулярно директрисе  в направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусом  и точкой  пересечения оси  с директрисой . Если обозначить через  расстояние фокуса от директрисы, то  и уравнение директрисы будет иметь вид .

В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид:

(7.8)

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Из уравнения (7.8) видно, что  может принимать только неотрицательные значения. Значит, на рисунке вся парабола располагается справа от оси . Так как уравнение (7.8) содержит  только в четной степени, то парабола симметрична относительно оси , и поэтому достаточно рассмотреть ее форму в первой четверти. В этой четверти .

При неограниченном возрастании   неограниченно растет и . Парабола, выходя из начала координат, уходит неограниченно вправо и вверх, четвертой четверти парабола строится по симметрии.

Сделаем рисунок параболы (Рис. 7.10).

 

Ось симметрии параболы называется ее осью. Точка пересечения с ее осью называется вершиной параболы.


Пример. Изменить порядок интегрирования