Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 20

Непрерывность функций в точке

20.1.Основные понятия

Определение 20.1.

Функция определенная в некоторой окрестности точки , включая саму точку, называется непрерывной в этой точке, если

 (20.1)

Замечание 1. Таким образом, согласно определению 20.1. предел функции и ее значение в точке равны.

Определение 20.2.

Функция f(x) непрерывна в точке  тогда и только тогда, когда для любой последовательности  из некоторой окрестности точки , сходящейся к , соответствующая последовательность  сходится к .

Определение 20.3

 непрерывна в точке  тогда и только тогда, когда:

 .

Пусть .

Тогда величина  называется приращением аргумента.

 называется приращением функции.

Преобразуем формулу (20.1):

.

Определение 20.4.

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при

Замечание 2. Определения 20.1-20.4 эквивалентны.

Теорема 20.1.

Пусть функции  и  непрерывны в точке . Тогда , (если) также непрерывны в этой точке.

20.2. Непрерывность элементарных функций

Простейшие элементарные функции:

.

Замечание 3. Арифметические действия от этих функций назовем элементарными функциями.

Пример 20.1.

Показать, что , , ,  - непрерывные функции.

а) . .

б). 1). Докажем для :

.

Поэтому .

2). В силу теоремы 20.1  - непрерывная функция, т.к.

в).

г). .

Замечание 4. 1) ;

2)

20.3. Гиперболические функции

Гиперболическими называются следующие функции:

 - гиперболический синус,

 - гиперболический косинус,

 - гиперболический тангенс,

 - гиперболический котангенс.

Гиперболические функции являются непрерывными функциями (это следует из непрерывности показательных функций).

Имеют место следующие формулы:

Сложная функция

Определение 20.5

Пусть заданы функции : область определения функции f(x) содержит область значений функции (x).

Тогда определена функция называемая сложной функцией.

Теорема20.1.

Если  непрерывна в точке , а  непрерывна в точке , то  непрерывна в точке .

Доказательство:

 (в силу непрерывности функции).

Также в силу непрерывности функции имеем:

 т.е. .

Теорема20.2 (об ограниченности непрерывных функций).

Если функция f(x) непрерывна в точке , то существует окрестность этой точки, на которой f(x) ограничена.

Доказательство:

.

Исследование на плоскости уравнения второй степени

Рассмотрим уравнение:

(7.9)

где среди коэффициентов   есть отличные от нуля, т.е. (7.9) – уравнение второй степени относительно  и .

Возьмем на плоскости две прямоугольные системы координат: , которую будем называть старой, и новую, полученную из  поворотом ее вокруг начала координат на угол , .

Старые координаты   выражаются через новые координаты   по формулам:

(7.10)

Подставив выражения для   и  в уравнение (8), получим:

(7.11)

Это уравнение в системе координат   задает ту же линию, что и уравнение (7. 9) в системе .

Если в уравнении (7.9) , то за счет выбора угла  в (7.10) можно добиться того, что . Для этого угол  надо взять таким, чтобы . Поэтому будем считать , тогда уравнение (7.11) примет вид:

(7.12)

Преобразуя это уравнение и применяя параллельный перенос координатных осей, придем к уравнению:

(7.13)

В зависимости от знаков коэффициентов уравнения (7.13) рассмотрим следующие случаи:

, тогда уравнение (7.13) примет вид , где . Это уравнение эллипса.

, то, обозначив , имеем . Этому уравнению не удовлетворяет ни одна точка с координатами . Следовательно, это уравнение задает пустое множество.

. Обозначая  приведем уравнение (12) к виду . Это уравнение гиперболы.

Случаи , ,  новых результатов не дают.

. Тогда уравнение (7.13) можно привести к виду . Это уравнение задает пару прямых , пересекающихся в начале координат.

Рассматривая далее методично все случаи, придем к выводу: уравнение вида (7.9) задает одну из следующих фигур: эллипс, гиперболу, параболу, пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, прямую, точку или пустое множество.

Контрольные вопросы к лекции №7

Понятие кривых второго порядка: эллипса, гиперболы, параболы.

Уравнение эллипса, каноническое уравнение эллипса.

Понятия фокусов эллипса; фокальных радиусов; директрисы и эксцентриситета эллипса.

Каноническое уравнение гиперболы.

Фокусы и фокальные радиусы гиперболы, асимптота гиперболы.

Каноническое уравнение параболы.

Приведение уравнения второй степени к каноническому виду.


Пример. Изменить порядок интегрирования