Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Обратная функция

Определение 20.6.

Пусть X и Y - некоторые множества и задана функция f(x), т.е. множество пар чисел (x, y): , причем.

Если в каждой паре множества числа х и у поменять местами, то получим (у; х):.

Данное множество называется обратной функцией  к функции .

Обозначение:.

Определение 20.7

Пусть функция f(x) определена на множестве  и пусть.

Тогда говорят, что

а) не возрастает, если ; б) не убывает, если ;

в) возрастает, если ; г) убывает, если .

Замечание 5. Такие функции называются монотонными.

В случаях в) и г) говорят, что f(x)-строго монотонная функция.

Теорема 20.2 (о непрерывности обратной функции).

Пусть функция , определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке  и пусть  - множество ее значений. Тогда на множестве   обратная функция однозначна, строго монотонна и непрерывна.

20.6. Точки разрыва функции

Определение 20.8.

Пусть функция f(x) определена на интервале (а;b); кроме может быть точки . Точка  называется точкой разрыва функции , если функция  не определена в точке , или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Определение 20.9.

Будем говорить, что функция f(x) непрерывна в точке  справа (слева), если:

.

Теорема 20.3.

Функция  непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и в самой точке  и существуют пределы:

.

Определение 20.10.

Если  - точка разрыва функции  и существуют конечные пределы

,

то точка  называется точкой разрыва первого рода. Величина  называется скачком функции  в точке .

Если , то точку называют точкой устранимого разрыва (т.е. ее можно доопределить до непрерывной функции).

Определение 20.11.

Точка разрыва функции , не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода (к примеру, один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности).

Пример 20.2.

( - разрыв второго рода);

.( - разрыв первого рода);

 (устранимый разрыв)

20.7. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение 20.12.

Функция, определенная на отрезке  и непрерывная в любой точке этого отрезка, называется непрерывной на этом отрезке (причем должна быть непрерывность на границах: слева справа соответственно).

Теорема 20.4 (Вейерштрасса).

Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней и своей нижней грани.

Определение 20.13.

Функция  определена на множестве E, достигает на нем своей верхней (нижней) грани , , если:

.

Теорема 20.5 (Больцано-Коши).

Пусть  непрерывна на отрезке  и на концах отрезков принимает разные значения, тогда:

.

Следствие.

Пусть  непрерывна на отрезке  и , . Тогда

 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Понятие евклидова пространства

Основные понятия:

евклидово пространство; –мерный вектор; неравенство Коши-Буняковского; коллинеарные векторы; неколлинеарные векторы; сонаправленные векторы; противоположно направленные векторы; линейная комбинация векторов; линейно зависимые векторы; линейно независимые векторы; размерность линейного пространства; базис векторного пространства.

N-мерные векторы

Декартово произведение множества действительных чисел  само на себя состоит из всевозможных упорядоченных числовых пар. Это множество обозначают  и его можно отождествить с плоскостью. Множество  состоит из упорядоченных троек и представляет собой трехмерное пространство. Если осуществить декартово произведение  на себя  раз, можно получить множество всех точек -мерного пространства . Каждый элемент пространства  представляет собой последовательность  чисел и записывается в виде . Число  называется первой координатой -мерного вектора ,  – второй координатой и т.д., а число  – размерностью вектора . В ряде случаев в пространстве –мерных векторов также бывает возможно определить операцию скалярного произведения векторов  и  через операции над их координатами.

В общем случае  и  – это –мерные векторы, т.е. , и . Их скалярное произведение равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е. . Длиной –мерного вектора  называется число . Скалярное произведение  называется скалярным квадратом вектора  и обозначается . Поскольку скалярный квадрат является суммой квадратов координат вектора , то его значение будет неотрицательным, причем  тогда и только тогда, когда все координаты этого вектора равны нулю, т.е. вектор  – нулевой.

Пространство –мерных векторов, в котором определена операция скалярного произведения, называется евклидовым пространством.

Теорема. Если  и  – это –мерные векторы евклидова пространства, то справедливо неравенство:

Доказательство: Рассмотрим вектор , где  – любое действительное число. Поскольку , то на основании свойств скалярного произведения можно записать:

Если предположить, что , то справедливо следующее:

Доказанное неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Причем, равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы  и  линейно зависимы. В общем случае, угол между векторами  и  можно определить как решение уравнения:

.

Таким образом, в евклидовом пространстве –мерных векторов скалярное произведение любых двух векторов  и  равно:

.

Теорема. Ненулевые –мерные векторы  и  равны тогда и только тогда, когда угол между этими векторами равен нулю и длины их равны.

Доказательство:

Необходимость:

Достаточность:

Пусть  и


Пример. Изменить порядок интегрирования