Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 22

Производная сложной функции

Теорема 22..1.

Если функция  имеет производную в точке , а функция  имеет производную в точке , то сложная функция  имеет производную в точке  и имеет место формула:

 или  или . (22.1)

Замечание 1. Если , то , где ,

,  - дифференцируемые функции своих аргументов.

Пример 22.1.

Вычислить производную сложной функции .

,

  

, , тогда

.

22.2. Дифференциал сложной функции

По определению,  (*).

Если , , т.е.,  то

.

Таким образом, равенство (*) справедливо для сложной функции, т.е. когда - зависимая переменная.

Это свойство называется

инвариантностью формы первого дифференциала.

22.3. Производная обратной функции

Теорема 22.2.

Пусть функция  непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки  и пусть в этой точке существует и не равна нулю производная функции ( ). Тогда обратная функция  имеет производную в точке , причем: . (22.2)

Доказательство.

Из существования и непрерывности функции  следует, что обратная функция   существует и непрерывна в окрестности точки . Следовательно

 .

Тогда , то есть выполняется равенство (22.2).

Геометрический смысл производной обратной функции

Рассмотрим в окрестности точки  график функции . Известно, .

Тогда если , или ,

то  - угол наклона касательной к оси .

Поскольку , то

.

Пример 22.2.

Вычислить производную функции .

 .

В формуле  взят знак «+»

т.к. при  .

Пример 22.3.

Вычислить производную функции .

.

.

В частности, при имеем .

Взаимное расположение плоскостей

Пусть даны плоскости  и . Угол между ними равен углу между перпендикулярными к ним векторам  и . Косинус этого угла вычисляется по формуле:

(6.5)

Плоскости параллельны, если   и  коллинеарны, т.е.:

(6.6)

Условие перпендикулярности плоскостей ‑ , т.е.:

(6.7)

Если даны три плоскости:

,

(6.8)

то их общие точки определяются системой уравнений (6.8).

В случае, если перпендикулярные этим плоскостям векторы , ,  некомпланарны, три плоскости имеют единственную общую точку.

В самом деле, тогда смешанное произведение , а записанный определитель является определителем системы уравнений (6.8), и, следовательно, система (6.8) имеет единственное решение.

 

Контрольные вопросы к лекции №6

Понятие поверхности -го порядка.

Общее уравнение плоскости.

Понятие нормального вектора плоскости.

Уравнение плоскости в отрезках.

Нормальное уравнение плоскости.

Вычисление отклонения точки от плоскости.


Пример. Изменить порядок интегрирования