Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Производная функции, заданной неявно

Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной x.

Пример 22.4.

Вычислить производную функции  в точке .

, .

22.5. Производная степенно показательной функции (логарифмическая производная)

Алгоритм вычисления производной

Пусть задана функция .

1) прологарифмируем функцию:

2) продифференцируем функцию:

3) выразим из полученного уравнения :

 (22.3)

Пример 22.5.

С помощью логарифмического дифференцирования найти производную функции: .

(Ответ: ).

Замечание 2.

С помощью логарифмической производной можно находить производную сложной функции, которую можно дифференцировать.

Пример 22.6.

Вычислить производную функции .

.

22.6. Дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть .

Если функция  монотонна и непрерывна, то

 (22.4)

Пусть функции  дифференцируемы и .

 (22.5)

Пример 22.7.

Вычислить производную функции, заданной параметрически:

 (уравнение эллипса).

.

22.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 22.1.

Второй производной (или производной второго порядка) функции называется производная от ее первой производной.

Обозначение:  (22.6)

Механический смысл.

Функция  равна ускорению движущейся точки в момент времени .

Аналогично определяются 3-я, 4-я и т.д. производные:

 (22.7)

а). Если - независимая переменная, то , т.к.  не зависит от

Определение 22.2.

Вторым дифференциалом от функции называется дифференциал от первого дифференциала:

 (22.8)

Тогда  (22.9)

– формула n-го дифференциала функции .

б). Если , то есть , тогда, поскольку , то

Здесь  (**).

Замечание 2. если .

Таким образом, свойство инвариантности не выполняется.

Кривые второго порядка

Основные понятия:

эллипс; гипербола; парабола; фокусы эллипса; уравнение эллипса; каноническое уравнение эллипса; эксцентриситет эллипса; фокальные радиусы; директрисы эллипса; фокусы гиперболы; каноническое уравнение гиперболы; асимптота гиперболы; оси гиперболы; вершины гиперболы; полуоси гиперболы; эксцентриситет гиперболы; фокальные радиусы гиперболы; директрисы гиперболы; каноническое уравнение параболы; ось параболы.

Уравнение фигуры

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру – значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными  и  записывается в виде . Если выбрать на плоскости некоторую прямоугольную систему координат, то в ней уравнение называется уравнением фигуры  при выполнении следующих двух условий:

Если точка  принадлежит фигуре , то координаты  являются решениями уравнения , т.е. ;

если пара чисел  является решением уравнения , то точка  принадлежит фигуре .

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение  называется уравнением фигуры, если , то есть  – решение уравнения .

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура  состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

дано уравнение  и надо построить фигуру , уравнением которой является ;

дана фигура  и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения  и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);

Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.


Пример. Изменить порядок интегрирования