Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 23

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 23.1 (Ферма).

Пусть функция  определена на интервале  и в некоторой точке   этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке  существует производная, то она равна нулю, то есть

.

Доказательство.

Пусть для определенности функция  принимает наибольшее значение в точке , т.е. , .

Тогда .

Так как производная в точке  существует, то

.

Геометрический смысл.

Касательная к графику параллельна оси .

Замечание 1.

Если функцию  рассматривать на отрезке , то теорема не верна.

Пример 23.1.

Пусть задана функция.

В точке  функция принимает

наименьшее значение,

в точке  – наибольшее значение.

.

Теорема 23.2 (Ролля).

Пусть функция  определена на отрезке  и

1) функция  непрерывна на отрезке ;

2) функция  дифференцируема на интервале ;

3) функция .

Тогда .

Доказательство.

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда

и

(по теореме Вейерштрасса).

Таким образом: .

1) Если , то .

2) .

Следовательно, поскольку , то либо наибольшее, либо наименьшее значение достигается внутри интервала.

Т.к. функция  дифференцируема,

то  (т. Ферма).

Геометрический смысл.

Касательная параллельна оси  внутри интервала .

Теорема 23.3 (Лагранжа).

Пусть функция  определена на отрезке  и

1) функция  непрерывна на отрезке ;

2) функция  дифференцируема на интервале .

Тогда . (23.1)

Замечание 2.

Формула (23.1) – формула Лагранжа или формула конечных приращений.

Геометрический смысл.

 – угловой коэффициент секущей .

 (касательная параллельна секущей).

Таких точек может быть несколько, по крайней мере, одна всегда существует.

Замечание 3.

Т.к. , то , то есть  (23.)

Замечание 4.

Если , то

, (23.)

где  

Формула (23.) описывает приращение функции через произвольное приращение аргумента. 

Теорема 23.4 (Коши).

Пусть функции  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале .

Тогда  . (23.2)

(23.2) – формула Коши или обобщенная формула конечных приращений.

Замечание 5. Формула (23.2) верна и для .

Замечание 6.Если положить , то получим формулу Лагранжа (частный случай формулы Коши).

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек  и есть величина постоянная (большая, чем расстояние между  и).

Точки  и называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через , а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через , имеем . Если это условие не выполнено, то рассматриваемое множество точек либо отрезок прямой, заключенной между фокусами, либо не содержит ни одной точки.

Из определения эллипса вытекает следующий метод его построения: если концы нерастяжимой нити длины   закрепить в точках  и и натянуть нить острием карандаша, то при движении острия будет вычерчиваться эллипс с фокусами  и и с суммой расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов, равной  
(Рис. 7.1).

Рис. 7.1.

Составим уравнение эллипса. Для этой цели расположим декартову прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось  походила через фокусы  и , положительное направление оси – от  к , начало координат выберем в середине отрезка . Тогда координаты точек  и  будут соответственно  и .

Пусть  ‑ произвольная точка эллипса, тогда:

,

.

 



Пример. Изменить порядок интегрирования