Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Раскрытие неопределенностей

а) Раскрытие неопределенностей вида

Теорема 23.5 (первое правило Лопиталя).

Пусть функции  и  определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки . Пусть  в окрестности точки .

Тогда, если существует  (конечный или бесконечный), то и существует, причем справедлива формула:

. (23.3)

Доказательство.

Пусть  – произвольная последовательность и . Доопределим функции   и  в точке , . Тогда  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале  и по условию .

По теореме Коши на интервале

,

то есть:

.

Рассмотрим предел при . Тогда . Т.к. существует предел справа, то и существует предел слева и:

.

Т.к.  – произвольная последовательность, то

.

Замечание 7. Правило Лопиталя – это правило сравнения скоростей.

Замечание 8.

При необходимости правило Лопиталя применяется несколько раз.

Замечание 9. Теорема остается верной при   .

Доказательство.

.

Пример 23.2.

Найти предел .

.

б) Раскрытие неопределенностей вида

Теорема 23.6 (второе правило Лопиталя).

Пусть функции  и  определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки .

Пусть  в окрестности точки  и существует предел (конечный или бесконечный), тогда существует предел

. (23.3’)

Доказательство аналогично доказательству теоремы 23.5 (доказать самостоятельно).

Пример 23.3.

Найти предел .

.

Пример 23.4.

При вычислении предела  правило Лопиталя применить нельзя, поскольку предел не существует.

в) Раскрытие неопределенностей других видов

Часто встречаются неопределенности следующих видов:

.

Все они сводятся к изученным выше двум неопределенностям путем алгебраических преобразований.

Рассмотрим некоторые из них.

Пример 23.5.

1) , где  т.е. имеем .

Можно записать:  т.е. рассматривать предел:

.

2) , то есть имеем

.

3)  , где , то есть имеем .

Пример 23.6.

Найти предел .

.

По определению эллипса . Подставляя сюда значения  и , имеем:

(7.1)

Уравнение (1) и есть уравнение эллипса. Преобразуя, упростим его:

Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим: .

Возведем еще раз обе части в квадрат и приведем подобные члены. Получаем  или

(7.2)

Положительную величину   обозначим через . Тогда уравнение (7.2) примет вид:

(7.3)

Оно называется каноническим уравнение эллипса.

Координаты точек эллипса ограничены неравенствами . Значит, эллипс ограниченная фигура, не выходящая за пределы прямоугольника со сторонами  и :

Заметим, что в уравнение (7.3) входят лишь четные степени  и . Поэтому, если точка  принадлежит эллипсу, то и точки , ,  также ему принадлежат. А это означает, что эллипс – линия симметричная относительно координатных осей  и .

Поэтому для исследования формы эллипса достаточно рассмотреть его в первой координатной четверти, а в остальных четвертях его строение определяется по симметрии. Для первой четверти, из уравнения (7.3) имеем:

(7.4)

При возрастании  от  до ,  монотонно убывает от  до . График функции изображен на Рис. 7.4.

Рис. 7.4

Достроив остальные четверти эллипса по симметрии, получим весь эллипс (Рис. 7.5).

Оси симметрии эллипса (оси   и ) называются просто его осями, а центр симметрии – точка  ‑ центром эллипса. Точки  пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Отрезки  и , а также их длины  и  называются полуосями эллипса. В случае, когда фокусы эллипса находятся на оси  (как в нашем случае), из равенства , следует, что . В этом случае  называется большой полуосью, а  ‑ малой.

Если , то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси . Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат . Тогда преобразование, переводящее произвольную точку  в точку , координаты которой задаются формулами , будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением .

Число  называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет   характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении  становится более вытянутым (Рис. 7.6).

 

Фокальыми радиусами точки   эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами  и. Их длины  и  задаются формулами  и . Прямые  называются директрисами эллипса. Директриса  называется левой, а  ‑ правой. Так как для эллипса , то  и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая – правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния  любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию  до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е. .


Пример. Изменить порядок интегрирования