Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Свойства умножения матриц

Пусть, размеры матриц  таковы, что произведения матриц имеют смысл..

1)  – ассоциативность умножения;

2)  – дистрибутивность умножения матриц относительно суммы матриц;

Определение 2.4.

Квадратная матрица  называется единичной матрицей.

Очевидно, что det Е=1.

2.4. Свойство единичной матрицы

, (2.2)

 (2.2’)

для матрицы  размера  (равенство (2.2))

или размера  (равенство (2.2’))

и единичной матрицы  размера .

Определение 2.5.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

.

Очевидно, что , .

2.5. Понятие обратной матрицы

Определение 2.6.

Квадратная матрица  называется обратной по отношению к матрице , если выполняется равенство , где  – единичная матрица.

Определение 2.7.

Квадратная матрица  называется невырожденной, или неособенной, если . Если , то матрица называется вырожденной (особенной).

Теорема 2.1.

Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу, определяемую формулой:

 (2.3)

Замечание 5.

В равенстве (2.3) матрица

 получена из матрицы  

заменой ее элементов на соответствующие алгебраические дополнения и последующим транспонированием. Такая матрица  называется присоединенной (союзной) матрицей для матрицы.

Таким образом,

.

Доказательство.

По определению 2.6 .

.

Но здесь  – есть разложение определителя  по его первому столбцу, потому является значением . Таковы же все элементы

главной диагонали. Так,  – есть разложение определителя по -тому столбцу. Значит, все элементы главной диагонали равны .

Все элементы вне главной диагонали представляют собой суммы произведений элементов какого-либо столбца определителя  на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца и потому равны нулю.

Значит, .

Пример 2.3.

Для матрицы  найти обратную матрицу.

 

Комплексные числа

В арифметике и алгебре рассматривают различные действия над числами: арифметические (сложение, вычитание, умножение, деление), возведение в степень, извлечение корня и т.д. Только два действия – сложение и умножение – безусловно, выполнимы в области натуральных чисел: сумма и произведение натуральных чисел - также натуральные числа. Однако в области арифметики натуральных чисел уже вычитание не всегда выполнимо – для возможности образования разности двух натуральных чисел множество  нужно дополнить до множества целых чисел , введя в него ноль и целые отрицательные числа. Такие операции как деление и извлечение корня становятся выполнимыми только после расширения рассматриваемой числовой области: множество целых чисел должно быть, соответственно, дополнено вначале до множества   за счет введения рациональных чисел, а потом и до множества действительных чисел  за счет введения иррациональных чисел.

Этот процесс можно схематически изобразить цепочкой , где , , ,  обозначают соответственно множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел. Причем каждая последующая числовая система сохраняет все основные свойства предыдущей и обладает рядом новых полезных свойств. Так, в  можно только складывать и умножать, в  можно уже вычитать, в  ‑ делить. Во множестве  действительных чисел можно извлекать корни любой степени из положительных чисел, хотя в  даже число  не имеет смысла. Но и в множестве действительных чисел  такое простое уравнение   не имеет решений. Так как многие задачи практики приводят к алгебраическим уравнениям, требуется построить новое множество, содержащее множество действительных чисел и решение любого алгебраического уравнения. Символом , который называется мнимой единицей, обозначим корень уравнения , или . Множество , которое представляет собой множество всех двучленов вида , называется множеством комплексных чисел. Действительное число  называется действительной частью комплексного числа ,  ‑ мнимой частью или коэффициентом при мнимой единице. Два комплексных числа  и  будут равны тогда и только тогда, когда . При этом действительные числа рассматриваются как частный случай комплексных чисел, мнимая часть которых равна нулю (). Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его действительная и мнимая части.

Операции сложения, вычитания и умножения над числами вида  производятся по обычным правилам алгебры с единственным дополнительным условием:


Пример. Изменить порядок интегрирования