Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 24

ТЕМА Исследование поведения функций одной переменной и построение графиков

Признак монотонности функций

Теорема 24.1.

Если функция дифференцируема на интервале и на то функция не убывает (не возрастает) на.

Доказательство.

Пусть и , причем .

Тогда на отрезке  выполняется условие теоремы Лагранжа:

.

Замечание 1. Теорема верна и для строго монотонных функций .

Отыскание локального экстремума

Определение 24.1.

Точка  называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции , если:

 , ().

Замечание 2. Точки локального максимума и локального минимума функции  называются точками локального экстремума.

Теорема 24.2 (необходимое условие локального экстремума).

Если функция дифференцируема в точке , и в ней имеет локальный экстремум, то .

Доказательство.

Так как функция  в точке  имеет локальный экстремум, то существует , в которой функция   является наибольшим или наименьшим значением среди всех других значений этой функции.

Тогда по теореме Ферма .

(Обратное утверждение в общем случае не верно!)

Геометрический смысл.

В точках локального экстремума касательная параллельна оси OX .

Замечание 3. Точки, где  называются стационарными точками, или точками возможного экстремума.

Пример 24.1.

Пусть задана функция .

Пусть ,.

Следовательно,  - стационарная точка, не является точкой локального экстремума.

Теорема 24.3 (I достаточное условие локального экстремума).

Пусть функция дифференцируема в некоторой -окрестности точки .  Тогда, если , при , а   при , то в точке  функция имеет локальный максимум (локальный минимум).

Если же  во всей -окрестности точки  имеет один и тот же знак, то в точке  локального экстремума нет.

Доказательство.

Пусть , причем  для  и  для .

Тогда по теореме 24.1 функция возрастает на промежутке  и убывает на промежутке , то есть  . Это означает, что  - точка максимума.

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

Пример 24.2.

 ,

.

- стационарная точка, не являющаяся точкой экстремума.

Замечание 4.

В точке экстремума производная может не существовать или обращаться в бесконечность (критическая точка!), но обязательно меняет в ней знак. В этом случае экстремум называют острым (в противоположность гладкому экстремуму, который имеет функция с непрерывной производной).

Теорема 24.4 (2-е достаточное условие экстремума).

Пусть функция имеет в точке  (точке возможного экстремума) конечную вторую производную. Тогда функция  имеет в точке  максимум, если  и минимум, если .

Пример 24.3.

.

.

 - точка максимума,  - точка минимума.

- стационарные точки.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек  и есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между  и).

Точки  и называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно . Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов  и обозначим через . По условию, .

Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составляем ее уравнение:

(7.6)

где  ‑ координаты произвольной точки гиперболы, .

Уравнение (7.6) называется каноническим уравнением гиперболы.

Из уравнения (7.6) видно, что . Это означает, что вся гипербола располагается вне полосы, ограниченной прямыми  и .

Так как в уравнение входят только четные степени  и , то гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей и начала координат. Поэтому достаточно построить эту кривую в первой четверти: в остальных четвертях гипербола строится по симметрии. Из уравнения (7.6) для первой четверти, имеем: .

График этой функции от точки   уходит неограниченно вправо и вверх (Рис. 7.7), и как угодно близко подходит к прямой:

(7.7)

Поэтому говорят, что гипербола асимптоматически приближается к прямой (7.7), и эту прямую называют асимптотой гиперболы. Из симметрии гиперболы следует, что у нее две асимптоты .

Построим гиперболу. Сначала строим, так называемый, основной прямоугольник гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, а стороны равны  и  параллельны осям координат. Прямые, на которых расположены диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Сделаем рисунок гиперболы (Рис. 7.8).

Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Центр симметрии гиперболы называется ее центром, оси симметрии называются осями гиперболы. Точки  и  пересечения гиперболы с осью  называются вершинами гиперболы. Величины  и  называются полуосями гиперболы. Если , то гипербола называется равносторонней.

Эксцентриситетом гиперболы называется число . Для любой гиперболы . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше, тем больше вытягивается гипербола вдоль оси . На рисунке 7.9 изображены гиперболы с различными значениями .

Рис. 7.9

Фокальными радиусами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами   и. Их длины  и  задаются формулами:

Для правой - ветви ,

Для левой - ветви .

Прямые  называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением .


Пример. Изменить порядок интегрирования