Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции

Определение 24.2.

Функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на отрезке  в точке .

Теорема 24.5.

Непрерывная функция принимает наибольшее (наименьшее) значение либо на концах интервала, либо в стационарных точках, либо в точках, где производная не существует.

Пример 24.4.

Найти наименьшую длину забора , с помощью которого можно огородить участок в форме прямоугольника площадью , примыкающий к стене.

 

 , .

4. Направление выпуклости графика функции и точки перегиба

Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b).

Тогда существует касательная в любой точке этого интервала.

Определение 24.3.

Будем говорить, что функция f(x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вверх (вниз), если график функции расположен не выше (не ниже) касательной к нему на (a, b).

выпукла вниз

 

Теорема 24.6.

Если функция y=f(x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и  во всех точках интервала (a, b), то график функции имеет выпуклость, направленную вниз (вверх).

Пример 24.5. (см. пример 24.3.).

.

Определение 24.4.

Точка  называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в точке M график имеет касательную и существует окрестность точки, в пределах которой график y=f(x) слева и справа от точки  имеет разные направления выпуклости.

Теорема 24.7. (необходимое условие точки перегиба).

Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке  и пусть функция y=f(x) имеет в точке  непрерывную производную.

Тогда .

Теорема 24.8 (достаточное условие точки перегиба).

Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности  имеет разные знаки,

то  - точка перегиба.

Пример 24.6.

а) Для функции из примера 24.3.:

 

 .

б)  

+

 

+

 

0

 
 не является

точкой перегиба

 


5. Асимптоты графика функции.

Определение 24.5.

Прямая называется асимптотой графика функции y=f(x), если расстояние от точки, принадлежащей графику до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки по графику функции от начала координат.

Существуют три типа асимптот:

вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение 24.6.

Прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений

 или  равно .

Пример.24.7.

 - вертикальная асимптота.

Определение 5.12.

Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при , если функция f(x) представима в виде:

 где .

Теорема 5.21.

Для того, чтобы график функции y=f(x) имел при  наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предельных значения:

 , . (24.1)

Замечание 5.

Аналогично определяется наклонная асимптота для случая .

Пример. 24.8.

График функции  имеет наклонную асимптоту  при  и вертикальную асимптоту

Схема исследования графика функции

1. Найти область определения функции, ее точки разрыва.

2. Найти асимптоты графика функции.

3. Найти точки пересечения с осями.

4. Найти стационарные точки.

5. Найти точки подозрительные на перегиб.

6. Исследовать на существование точек, в которых первая или вторая производная не существует, то есть критических точек.

7. Исследовать знак первой и второй производной. Определить участки возрастания и убывания функции, направления выпуклости, точки экстремума и перегиба.

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы обозначают  или .

Если все миноры порядка   данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка данной матрицы также равны нулю. Это следует из определения определителя. Отсюда вытекает алгоритм нахождения ранга матрицы.

Если все миноры первого порядка (элементы матрицы ) равны нулю, то . Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то . Причем, достаточно просмотреть только те миноры второго порядка, которые окаймляют ненулевой минор первого порядка. Если найдется минор второго порядка отличный от нуля, исследуют миноры третьего порядка, окаймляющие ненулевой минор второго порядка. Так продолжают до тех пор, пока не придут к одному из двух случаев: либо все миноры порядка , окаймляющие ненулевой минор -го порядка равны нулю, либо таких миноров нет. Тогда .

Пример 10. Вычислить ранг матрицы .

Минор первого порядка (элемент ) отличен от нуля. Окаймляющий его минор  тоже не равен нулю.

Далее рассмотрим миноры, окаймляющие минор :

;

.

Все эти миноры равны нулю, значит .

Приведенный алгоритм нахождения ранга матрицы не всегда удобен, поскольку связан с вычислением большого числа определителей. Наиболее удобно пользоваться при вычислении ранга матрицы элементарными преобразованиями, при помощи которых матрица приводится к столь простому виду, что очевидно, чему равен ее ранг.

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

умножение какой-нибудь строки (столбца) матрица на число, отличное от нуля;

прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число.

Полужордановым преобразованием строк матрицы:

с разрешающим элементом   называется следующая совокупность преобразований со строками матрицы:

к первой строке прибавить ю, умноженную на число  и т.д.;

к последней строке прибавить ю, умноженную на число .

После выполнения этих преобразований получается матрица:

Полужордановым преобразованием столбцов матрицы с разрешающим элементом  называется следующая совокупность преобразований со столбцами матрицы:

к первму столбцу прибавить й, умноженный на число  и т.д.;

к последнему столбцу прибавить й, умноженный на число .

После выполнения этих преобразований получается матрица:

Полужорданово преобразование строк или столбцов квадратной матрицы не изменяет ее определителя.

Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Покажем на пример, как вычислить ранг матрицы, пользуясь элементарными преобразованиями.


Пример. Изменить порядок интегрирования