Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 26

Частные производные

Пусть функция  определена в окрестности точки . Зададим переменной   в точке  приращение , оставляя  неизменным, т.е. перейдем к точке , принадлежащей области  (области определения функции).

Определение 26.1.

называется частным приращением по переменной  в точке

Определение 26.2.

Если существует предел , то он называется частной производной функции  в точке  по переменной .

Обозначение: .

Аналогично определяется

.

Если рассматривать частную производную по переменной  в любой точке области определения функции на области , то частные производные можно рассматривать как новые функции на области .

Таким образом, частная производная функции двух переменных по переменной  есть обычная производная одной переменной   при фиксированном значении .

Пример 26.1.

Найти частные производные функций: , , .

1) .

, .

2)

.

3) .

26.2. Понятие дифференцируемости функции двух переменных

Определение 26.3.

Пусть определена функция , тогда

 - полное приращение функции.

Определение 26.4.

Пусть функция  определена в окрестности точки .

Функция  называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

 (26.1),

где -константы, -бесконечно малые функции при .

Теорема 26.1.

Если функция  дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Очевидно из (26.1): .

Теорема 26.2 (необходимое условие дифференцируемости).

Если функция  дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные  , причем:

 . (26.2)

Доказательство.

Пусть имеет место формула (26.1).

Положим ,

где  при  - бесконечно малая функция.

Разделив на , и переходя к пределу при , получим:

,

то есть частная производная по переменной  существует и равна .

Второе равенство доказывается аналогично.

Замечание 1. Из непрерывности  не следует ее дифференцируемость!

Пример 26.2.

 непрерывна в точке (0,0), но  не существует.

Аналогочно, не существует частной производной по . Следовательно, функция не дифференцируема.

Замечание 2. Из существования частных производных не следует дифференцируемость функции.

Пример 26.3.

Функция  имеет частные производные в точке (0,0),

но  не является в этой точке непрерывной, следовательно –

не дифференцируема.

Теорема 26.3 (достаточное условие дифференцируемости).

Если функция  имеет частные производные в некоторой окрестности точки  и эти производные непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в точке .

Следствие.

Если частные производные непрерывны, то функция непрерывна.

Определение 26.5.

Если функция  дифференцируема в точке , то дифференциалом  называется линейная относительно приращений   часть полного приращения этой функции в точке , т.е.

, или

 (26.3)

Дифференциалами независимых переменных  называются их приращения

  (26.3’)

26.3. Производная сложной функции двух переменных

Пусть  – функция двух переменных  и каждая из них является функцией от переменной :.

Тогда  – сложная функция переменной .

Теорема 26.4.

Если функции  дифференцируемые в точке ,

 – дифференцируема в точке , то сложная функция   также дифференцируема в точке . При этом:

 (26.4)

Пример 26.4.

1)

.

2)

.

Замечание 3.

Если  и , то .

Матрицу  находим в два приема, согласно формуле (9.5). Сначала запишем матрицу , состоящую из алгебраических дополнений элементов .  Затем матрица  транспонируется и умножается на число обратное , в данном случае – на (-1). Окончательно получаем:

.

Матрица называется неособенной или невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Отметим свойства обратных матриц. Если  и  ‑ невырожденные матрицы одинакового порядка, то:

,

,

,

.

Контрольные вопросы к лекции №9

Понятие матрицы.

Виды матриц.

Понятие транспонирования матриц.

Операции сложения и вычитания матриц.

Операции умножения и возведения в степень матриц.

Понятие определителя.

Определитель - го порядка.

Правила нахождения определителей 2 и 3 порядка.

Свойства определителей.

Правила нахождения определителей - го порядка.

Понятие обратной матрицы.

Схема нахождения обратной матрицы.

Понятие ранга матрицы.


Пример. Изменить порядок интегрирования