Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 27

Неявные функции, условие их существования.

 Дифференцируемость неявных функций

27.1.1. Неявная функция одного переменного:  (*)

Уравнение  не всегда является функцией.

Определим условия, когда уравнение (*) определяет переменную как функцию другой переменной.

Теорема 27.1 (о существовании неявной функции).

Пусть функция  непрерывна вместе с частными производными в окрестности точки . Если , , то уравнение (*) в окрестности точки   имеет единственное непрерывное решение , где  непрерывно дифференцируема.

Пример 27.1.

. т.е. существует функция

27.1.2. Неявная функция двух переменных:  (**)

Теорема 27.2.

Пусть функция  непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки . Если , , то уравнение (**) в окрестности точки   имеет единственное решение , где  имеет непрерывные частные производные.

27.1.3. Дифференцируемость неявных функций

Если выполнены условия существования неявной функции, т.е.

существует функция , то (*) имеет вид: .

Тогда, дифференцируя как сложную функцию, имеем:

.

Пример 27.2.

1)

2)

.

27.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Геометрический смысл производных и дифференциала.

Определение 27.1.

Плоскость, проходящая через точку  поверхности, называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке, если угол между секущей, проходящей через точку   и любой точкой  этой плоскости стремится к нулю, когда .

Если  дифференцируема в точке , то

 (27.1)

– уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке .

В этом случае  – нормальный вектор касательной плоскости называют нормалью к поверхности  и точке , где .

Геометрический смысл.

 – угловой коэффициент касательной в точке   к сечению поверхности плоскостью .

Частный дифференциал  – приращение аппликаты касательной плоскости.

27.3. Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция  определена в окрестности точки . Из точки  построим  - произвольный единичный вектор (орт). Для характеристики скорости изменения функции в точке  в направлении  введем понятие производной по направлению.

Через вектор  проведем прямую .

Выберем точку  в направлении вектора . Тогда .

В этом случае:

.

Определение 27.2.

Если существует предел , то он называется производной по направлению функции  в точке  по направлению  и обозначается :

 (27.2)

Пусть функция  дифференцируема, тогда

.

Здесь ,

Разделив обе части равенства на , и учитывая, что

,

перейдем к пределу при :

 (27.3)

Пример 27.3.

Вычислить производную функции  в точке  по направлению вектора , где .

, т.е. .

.

Определение 27.3.

Градиентом функции  в точке  называется вектор, компоненты которого равны   и , взятые в точке .

Обозначение:

 (27.4)

Т.к. , то

 (27.5)

С другой стороны:

Т.е.  (27.6)

Следовательно,  максимально при  (), т.е.

.

Таким образом, градиент функции  в точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.

Понятие линейного оператора

Основные понятия:

матрица перехода; линейное преобразование; собственное значение матрицы; собственный вектор матрицы; диагонализация матрицы; ортогональная матрица; характеристический многочлен.

Переход к новому базису

Пусть в пространстве R имеются два базиса: старый  и новый . Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Полученная система означает, что переход от старого базиса  к новому  задается матрицей перехода:

,

причем, коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы.

Матрица  — неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от нового базиса  к старому базису  осуществляется с помощью обратной матрицы .

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор   имеет координаты  относительно старого базиса и координаты  относительно нового базиса, т.е.:

Подставив значения   из системы в левую часть этого равенства, получим после преобразований:

т.е. в матричной форме:   или

Линейное преобразование переменных

Линейным преобразованием переменных называется выражение системы переменных  через новую систему переменных   с помощью линейных однородных функций:

Линейное преобразование вполне определяется матрицей  размером , составленной из коэффициентов при . Эту матрицу называют матрицей линейного преобразования или матрицей линейного оператора.

Пусть  и  – два линейных пространства размерности  и  соответственно. Отображение  называется линейным оператором, если:

Линейное преобразование переменных с квадратной матрицей  называется невырожденным, если матрица  невырожденная и вырожденным, если матрица  вырожденная.

Теорема. Для всякого невырожденного линейного преобразования переменных с квадратной матрицей  существует обратное преобразование, которое является также линейным, и его матрица равна .


Пример. Изменить порядок интегрирования