Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 28

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Определение 28.1.

Частные производные по переменным  и в точке  от функций  и в точке М, если они существуют, называются

  частными производными второго порядка от функции .

Обозначение.  

 – смешанные частные производные.

Пример 28.1.

Найти частные производные функции .

Решение.

.

Теорема 28.1.

Если функции  и  существуют в  и непрерывны в самой точке М, то они равны между собой:

 (28.1).

Определение 28.2.

 – дифференциал первого порядка

 – дифференциал второго порядка.

Тогда

 – дифференциал n-го порядка

28.2. Экстремумы функции двух переменных

Пусть функция  определена в окрестности точки

Определение 28.3.

Функция  имеет в точки  локальный максимум (минимум), если существует :  из окрестности выполняется неравенство:

 ()

Таким образом, в окрестности точки :

  локальный минимум,

  локальный максимум.

Теорема 28.2 (необходимое условие экстремума).

Если функция  имеет в точке  экстремум и частные производные первого порядка, то выполняется равенство:

 (28.2).

Точки, в которых выполняется равенство (28.2) называются точками возможного экстремума, или стационарными точками.

Теорема 28.3 (достаточное условие экстремума).

Пусть в точке  возможного экстремума и некоторой ее окрестности функция  имеет непрерывные частные производные второго порядка.

Положим

Тогда: а) если , то в точке  экстремум: ;

б) если , нет экстремума;

в) если , требуется дополнительное исследование.

Пример 28.2.

Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

, ,  - (минимум)

Найдем точки минимума.

По теореме 28.2. , т.е.  , x=1/3, y=4/3

Итак, в точке  функция имеет минимум.

28.3. Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Чтобы вычислить наибольшее и наименьшее значение функции  в замкнутой области, поступают следующим образом:

находят все максимальные и минимальные значения функции, достигаемые в данной области;

находят наибольшие и наименьшие значения функции на границе области.

сравнивают найденные значения.

Пример 28.3.

Найти наибольшее значение функции  в замкнутой области, ограниченной линиями: , , .

Решение.

1) ,  (min) .

2) => y=1/3.

z(0)= 2, z(1/3)=1/3-2/3+2=4/3; z(1)=3.

при x=0, z=3(наибольшее).

3) ,  аналогично при y=0, z=3 (наибольшее);

4) x+y=1;    12y-6=0 y=1/2

z(0)=3, z(1)=3, z(1/2)=3/2

Итак, наибольшее значение: 3 при y=0 или y=1.

Собственные значения и собственные вектора матриц

Число  называется собственным значением (или характеристическим числом) квадратной матрицы  порядка , если можно подобрать такой –мерный ненулевой вектор , что .

Для того, чтобы найти собственные значения матрицы , рассмотрим матрицу:

Если раскрыть определитель матрицы , то получится многочлен –й степени:

Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы . Его коэффициенты  зависят от элементов матрицы . Понятие многочлена будет подробно разобрано в следующем разделе.

Следует отметить, что , . Уравнение  называется характеристическим уравнением матрицы .

Теорема. Множество   всех собственных значений матрицы   совпадает с множеством всех решений характеристического уравнения  матрицы .

Доказательство:

,

– ненулевой набор чисел, – вырожденная матрица – решение уравнения:

.

Собственным вектором квадратной матрицы  порядка , принадлежащим ее собственному значению   называется -мерный вектор , для которого .

Множество всех собственных векторов матрицы , принадлежащих ее собственному значению , обозначим через . Отыскание собственных векторов сводится к решению однородной системы линейных уравнений.

Теорема. Множество   всех собственных векторов матрицы   порядка , принадлежащих ее собственному значению , совпадает с множеством всех решений однородной системы линейных уравнений , где .

Доказательство:

В развернутом виде равенство   записывается как система уравнений:

Если зафиксировано число , то задача нахождения собственного вектора матрицы  сводится к поиску ненулевого решения системы  линейных однородных уравнений с   неизвестными , которые являются координатами вектора . Эта система имеет ненулевое решение только тогда, когда выполняется условие:

,

т.е. число  является собственным числом матрицы .

Знание всех собственных векторов матрицы  позволяет решить задачу диагонализации этой матрицы, то есть нахождения треугольной или диагональной матрицы, имеющий такие же собственные значения.

Теорема. Предположим, что квадратная матрица  -го порядка имеет  линейно независимых собственных векторов. Тогда если взять эти векторы в качестве столбцов матрицы , то матрица  будет диагональной матрицей, у которой на диагонали стоят собственные значения матрицы , т.е.:


Пример. Изменить порядок интегрирования