Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале  формулой:  (рис. 1).

 


 y

 -4π -3p  -2p -p 0 p 2p 3p  4π x

 Рис. 1

Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Применяя формулу (7), найдем коэффициенты Фурье :

,

 0 

т.к. .

Следовательно, ряд Фурье функции  будет иметь вид

.

Так как функция  удовлетворяет условиям Дирихле, то в любой точке непрерывности  сумма ряда равна значению функции. В точках  и  сумма ряда равна нулю. На рис. 2 показаны графики: функции  и частичных сумм ряда, содержащие 1, 2 и 3 члена. Из рисунка видно, как график частичных сумм ряда приближается к графику функции  при увеличении членов суммы.

 y 

 

 

 Рис. 2

2. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой

.

  Построим график функции (рис. 3).

 y

 1

 -3p  -2p -p p 2p  3p x 

 Рис. 3

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле. Применяя формулы (2) и (3), находим коэффициенты Фурье

,

,

.

Разложение в ряд Фурье  имеет вид

.

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале

  формулой

 Построим график функции (рис. 4).

 


 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

 Рис. 4

Решение. Пользуясь формулами (9) и (10), полагая  и разбивая интервал интегрирования точкой  на две части, поскольку в каждой из них функция задана различными формулами, получим

 

.

При а – четном  и , при n – нечетном  и .

При n=0

,

 

 0

 

.

Искомое разложение данной функции имеет вид

.

Оно справедливо во всей области определения данной функции: в интервале   сумма ряда , в интервале  - . В точке разрыва ,

.

Операции над матрицами

Суммой двух матриц  и  одинакового размера называется матрица  того же размера с элементами, равными суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. .

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

Коммутативность, т.е. .

Ассоциативность, т.е. .

Для любых двух матриц  и  одинакового размера существует единственная матрица  такая, что . Матрица  обозначается  и называется разностью матриц  и . Уравнение  имеет решение , получающаяся при этом матрица называется противоположной  и обозначается .

Произведением матрицы  на число  называется матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на число .

Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами:

;

;

;

 (ассоциативность);

 (дистрибутивность);

 (дистрибутивность).

Матрица  называется согласованной с матрицей , если число столбцов матрицы  равно числу строк матрицы . В этом случае произведением матрицы  на матрицу  называется матрица , где  , т.е. элемент, стоящий в -той строке и -том столбце матрицы произведения равен сумме произведений элементов -той строки матрицы  на соответствующие элементы -го столбца матрицы .

Свойства умножения:

Если матрица  согласована с матрицей , а матрица  согласована с матрицей , то  ‑ ассоциативность умножения;

 ‑ свойство дистрибутивности;

Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило, .

Транспонированием матрицы   называется операция замены местами строк и столбцов с сохранением порядка их следования, т.е. -я строка матрицы  становится -тым столбцом транспонированной матрицы. Матрица, транспонированная к матрице  обозначается .

Свойства транспонирования:


Пример. Изменить порядок интегрирования