Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой  (рис. 5).

 у

 1

 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 х 

 

 Рис. 5

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле. Применяя формулу (12), (функция  - четная), полагая , получим ,

.

ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  уравнением .

Ответ:

  .

2. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой .

Ответ: .

3. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой .

Ответ: .

4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию  с периодом , заданную на интервале  уравнением .

Ответ: .

5. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

  f(x+2)=f(x).

Ответ: .

6. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

  f(x+6)=f(x).

Ответ: .

7. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

Ответ: .

Определитель матрицы

Далее будем рассматривать только квадратные матрицы. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие действительное число, называемое определителем матрицы и вычисляемое по определенному правилу.

Определитель матрицы естественно возникает при решении систем линейных уравнений, или в свернутой форме , или в свернутой форме . Предыдущая формула получается разложением определителя по первой строке.


Возьмем теперь квадратную матрицу -го порядка

(9.2)

Для записи определителя -го порядка матрицы  будем применять обозначения . При  матрица  состоит из одного элемента и ее определитель равен этому элементу. При  получаем определитель .

Минором  элемента  матрицы  называют определитель матрицы -го порядка, получаемого из матрицы  вычеркиванием -той строки и -го столбца.

Пример 7. Найти минор   матрицы:

.

По определению, минор   элемента  есть определитель матрицы, получаемой из матрицы  вычеркиванием первой строки и второго столбца. Следовательно, .

Алгебраическим дополнением элемента   матрицы  называется минор , взятый со знаком . Алгебраическое дополнение элемента  обозначается , следовательно, .

Пример 8. Найти алгебраическое дополнение элемента  матрицы  из примера 7.

.

Определителем квадратной матрицы   -го порядка  называется число:

,

(9.3)

где  ‑ элементы первой строки матрицы (9.2), а  их алгебраические дополнения.

Запись по формуле (9.3) называется разложением определителя по первой строке.


Пример. Изменить порядок интегрирования