Математика Лекции и примеры решения задач Действия с матрицами Аналитическая геометрия Поверхности и линии в пространстве Математический анализ Предел функции на бесконечности Обратная функция

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 3

ТЕМА: Ранг матрицы

Определение 3.1

Определитель с элементами, стоящими на пересечении произвольных   строк, и  столбцов матрицы, называется минором -го порядка этой матрицы.

Замечание1. Не путать с минором элемента!

Пример 3.1

 здесь  - один из миноров 2-го порядка.

Еще любые два минора этого же порядка:  , 

Сравнить их с нулем.

Сколько миноров второго порядка?

Сколько миноров третьего порядка?(четыре)

Есть ли минор четвертого порядка? (нет)

Каждый отдельный элемент матрицы является минором первого порядка.

Определение 3.2

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы.

Обозначение:  (3.1) (ранг матрицы равен ___ ______).

Таким образом, обозначение (3.1) означает, что среди всевозможных миноров матрицы имеется хотя бы один отличный от нуля минор, -го порядка, а все миноры -го и высших порядков равны нулю.

Определение 3.3

Каждый отличный от нуля минор, порядок которого совпадает с рангом матрицы, называется базисным минором.

Сколько может быть базисных миноров у матрицы? (несколько)

В матрице из примера 3.1 все миноры 3-го порядка равны ___ нулю ______,

(Проверить.)

   

но имеются отличные от нуля миноры 2-го порядка, значит, .

Правило вычисления ранга матрицы (метод «окаймляющих миноров»).

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-го порядка D, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

. .

Матрица большого размера имеет много миноров различных порядков и нахождение ранга только на основании определения 3.2 (перебором всех возможных миноров) или даже методом «окаймляющих миноров» требует много времени. Эта задача существенно упрощается с помощью перехода от данной матрицы так называемыми элементарными преобразованиями к ступенчатой матрице:

Определение 3.4

Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования:

1). Умножение ряда (строки или столбца) на число, не равное нулю.

2). Прибавление к одному ряду другого, умноженного на любое число, не равное нулю.

3). Перестановка двух рядов.

Замечание2. Как правило, получается эквивалентная матрица неравная данной.

.

Определение 3.4

Матрица, у которой в каждой следующей строке, начиная со второй, первый отличный от нуля элемент стоит правее первого отличного от нуля элемента предыдущей строки, а все нулевые строки (состоящие только из нулей) стоят ниже ненулевых строк (строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент), называется ступенчатой.

Например: .

Пример 3.2

Базисным минором, к примеру, является минор:

.

Пример 3.3. С помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду.

Теорема 3.1

Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Теорема 3.2 (О ступенчатой матрице):

1). Каждая матрица элементарными преобразованиями строк приводится к ступенчатой матрице.

2). Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк.

Доказательство

Возьмем первый слева столбец, содержащий ненулевые элементы.Переставим строки матрицы так, чтобы один из ненулевых элементов этого столбца оказался в первой строке (если первый элемент взятого столбца был равен нулю).

С помощью преобразований строк можно получить новую матрицу, в которой все элементы под  окажутся равными нулю. Чтобы получить нуль на месте элемента , достаточно умножить -ю строку матрицы (где стоит ) на число  и прибавить к -ой строке (где стоит ). Действительно, на месте элемента   получим

Обратим указанным способом в нуль все элементы под этим ненулевым элементом. Первая строка ступенчатой матрицы готова: все ненулевые элементы второй и нижних строк теперь стоят правее первого ненулевого элемента первой строки. Применим ту же операцию к матрице, начинающейся со второй строки и так далее. Так как строк – конечное число, то в результате получим ступенчатую матрицу.

2). Пусть в ступенчатой матрице имеется  ненулевых строк. Тогда каждый минор -го и высшего порядка содержит нулевые строки (хотя бы одну) и потому равен нулю. Но имеется хотя бы один минор -го порядка отличный от нуля: наверняка треугольный минор не равен нулю, главную диагональ которого образуют первые ненулевые элементы всех  ненулевых строк. Действительно, такой минор равен произведению элементов главной диагонали и поэтому не равен нулю. Значит .

Пример 3.3. Придумать ступенчатую матрицу шестого порядка, чтобы   .

.

Пример 3.4. Определить ранг матрицы:

методом «окаймляющих миноров»:

приведением матрицы к ступенчатому виду.

2)

Операции над комплексными числами

Алгебраическую операцию сложения на множестве  можно задать следующим образом:

.

Сложение комплексных чисел ассоциативно, т.е.  и коммутативно, т.е. . Сумма чисел , поэтому число  является противоположным числу , тем самым определена операция вычитания .

Учитывая, что через  обозначен корень уравнения , т.е.  или , можно определить умножение комплексных чисел:

.

Умножение также ассоциативно и коммутативно. Произведение нескольких сомножителей вычисляется как последовательное умножение. Натуральная степень комплексного числа  может быть найдена при помощи формулы бинома Ньютона. Поскольку , , , , , при возведении  в любую натуральную степень , надо найти остаток от деления  на 4 и возвести  в степень, равную этому остатку.

Чтобы определить деление комплексных чисел, нужно определить число обратное числу . Для действительного числа  обратным будет число .

Выражение  запишем в стандартной форме. Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексное число :

,

где .

Значит, для любого ненулевого комплексного числа существует обратное. Таким образом, операция деления определена как произведение делимого на число, обратное делителю.


Пример. Изменить порядок интегрирования