Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением .

Решение. Рассмотрим два возможных (из бесчисленных) способа разложения этой функции в ряд Фурье на заданном интервале.

А. Будем полагать, что функция задана на отрезке длиной, равной периоду , и периодически продолжить ее на всю числовую ось с этим периодом

(рис. 10).

 y

-2p  -p 0 p  2p х

 Рис. 10 

Вычисляем коэффициенты Фурье полученной функции по общим формулам (9), (10), полагая .

;

;

;

.

Б. Доопределим функцию  на отрезке  четным образом и периодически на всю числовую ось. В данном случае . Вычисляем коэффициенты Фурье полученной функции по формулам (5).

График функции представлен на рис. 11.

 y

 -p p  x

 

 Рис. 11

 

 

  0

 .

Итак, .

Заметим, что ряды Фурье, полученные в пп. А и Б, сходятся на отрезке   к одной и той же формуле , во втором случае вычислений нужно проводить меньше, чем в первом.

Во многих случаях удобно использовать комплексную формулу ряда Фурье, которую можно получить с помощью формул Эйлера:

.

Для функций с произвольным периодом  ряд Фурье в комплексной форме имеет вид

 , (15)

где

 . (16)

Канонический базис квадратичной формы

Принято считать, что квадратичная форма   имеет канонический вид, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е.  при . При этом квадратичная форма представляет собой сумму квадратов переменных с соответствующими коэффициентами , т.е.:

.

В этом случае матрица квадратичной формы имеет диагональный вид:

Очевидно, что изучение свойств квадратичной формы, записанной в каноническом виде, значительно упрощается. В связи с этим возникает задача приведения произвольной квадратичной формы к каноническому виду. В основе многих известных методов приведения квадратичной формы к каноническому виду лежит следующая теорема.

Теорема. Всякая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду.

Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

Пусть дана квадратичная форма , Поскольку  – симметрическая матрица, для нее существует диагонализирующая ортогональная матрица , такая что:

где – собственные значения матрицы .

Применим к квадратичной форме линейное преобразование , где  – матрица-столбец новых переменных ;  – матрица, обратная к .

Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.

Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.

Наиболее удобным для исследования является канонический вид, в котором коэффициенты при новых переменных равны +1
или –1, т.е. квадратичная форма имеет вид:

  .

Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу квадратичной формы.


Практикум по теме «Тройной интеграл»