Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением .

Решение. В данном случае удобно использовать комплексную форму ряда Фурье. По формуле (16)

.

По формулам Эйлера

.

Следовательно, ,

.

В интервале  ряд представляет функцию , а в точках  его сумма равна .

Заметим, что полученный ряд в комплексной форме можно преобразовать к обычной тригонометрической форме ряда Фурье, для этого следует объединить слагаемые с индексами  и  и заменить в результате по формулам Эйлера показательные функции тригонометрическими:

 

при .

Следовательно,

.

ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Разложить в интервале  по синусам кратных дуг функцию

 .

Ответ: .

2. Разложить в интервале  по косинусам кратных дуг функцию

Ответ: .

Разложить в интервале  в ряд Фурье функцию .

Ответ: .

4. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на интервале  уравнением

Ответ: .

5. Разложить в интервале  в неполный ряд Фурье, содержащий только косинусы или только синусы, функцию

Ответ: а) ;

 

 б)

6. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию  при , .

Ответ: .

7. Разложить функцию  в интервале  в неполный ряд Фурье, содержащий только синусы.

Ответ:

Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.

Теорема. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная вещественная квадратичная форма вещественным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Эту теорему называют законом инерции квадратичных форм.

Базис  пространства  называется каноническим базисом квадратичной формы , если в этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид, т.е.  при .

Если  – канонический базис , то выражение:

,

называется каноническим видом   в базисе , где – новый набор неизвестных.

Теорема. Если – разложение вектора  по каноническому базису  квадратичной формы , то значение  на векторе  вычисляется по формуле .


Доказательство:

Эта теорема утверждает, что если известны канонический базис  квадратичной формы  и ее канонический вид  в этом базисе, то для вычисления значения  квадратичной формы  на векторе  достаточно:

разложить вектор   по каноническому базису :

;

коэффициенты разложения   подставить вместо неизвестных   в канонический вид квадратичной формы:

.

Квадратичная форма имеет много разных канонических базисов. Процесс построения канонического базиса называется приведением квадратичной формы к сумме квадратов.

Наиболее часто используются: канонический базис из собственных векторов матрицы  и канонический базис Якоби.


Практикум по теме «Тройной интеграл»