Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Представить интегралом Фурье заданную на всей оси функцию

 

 2

 -2 2 t

 Рис. 13

График функции представлен на рис. 13.

Решение. Условия представимости данной функции интегралом Фурье выполняются. Эта функция – четная, поэтому воспользуемся формулой (21):

.

В частности, полагая , найдем .

3. Представить интегралом Фурье функцию 

 
 

 

  - целое число.

 Рис. 14

График функции представлен на рис. 14.

Решение. Функция  непрерывна на всей числовой оси и абсолютно интегрируема, поскольку

.

Следовательно, возможно представление этой функции интегралом Фурье. Согласно формуле (18)

.

  Используя равенство

,

интегрируя и производя несложные преобразования, получим

.

  4. Представить интегралом Фурье функцию, продолжив ее на всю числовую ось: а) четным, б) нечетным образом. 


 

 

 

 0 p/2  t 

 Рис. 15

 График функции представлен на рис. 15.

 Решение. Функции, получаемые продолжением  на  четным и нечетным образом, удовлетворяют условиям теоремы. Для четного продолжения воспользуемся формулой (21)

.

Вычислим отдельно внутренний интеграл:

.

Следовательно, при четном продолжении

.

Если  продолжена нечетным образом, то следует применить формулу (22). Получим

.

Производя аналогичные вычисления, придем к следующему представлению функции :

.

Таким образом, для

.

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

Квадратичная форма называется положительно определенной, если значение   на каждом ненулевом значении   больше нуля, т.е.:

, если ,

Если же  на каждом , то квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Теорема. Дана квадратичная форма ,  – ее канонический базис, а выражение , канонический вид  в базисе . Тогда справедливы следующие утверждения:

Квадратичная форма  положительно определена тогда и только тогда, когда , ,…,.

Квадратичная форма   отрицательно определена тогда и только тогда, когда , ,…,.

Доказательство:

Необходимость. Дано, что  – положительно определенная форма. Так как , то   и поэтому .

Достаточность. Дано, что в каноническом виде все коэффициенты , ,…,. Нужно доказать, что  положительно определена. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор  и разложим его по базису :

Так как , то в разложении  не все коэффициенты равны нулю. Следовательно , так как , ,…, и среди чисел  хотя бы одно отлично от нуля.

Аналогично доказывается и второе утверждение.

Эта теорема дает два наиболее употребляемых критерия положительной и отрицательной определенности квадратичной формы.

Теорема. Дана квадратичная форма . Тогда справедливы следующие утверждения:

Квадратичная форма   положительно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы  положительны.

Квадратичная форма  отрицательно определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы  отрицательны.

Доказательство:

Докажем первое утверждение. Рассмотрим ортонормированный базис  пространства , состоящий из собственных векторов симметрической матрицы , и пусть , . Тогда – канонический базис квадратичной формы , а выражение  – ее канонический вид в базисе . Теперь первое утверждение этой теоремы вытекает из первого предложения предыдущей теоремы.

Второе предложение доказывается аналогично.

Лемма. Если какой-нибудь угловой минор   матрицы  равен нулю, то найдется такой ненулевой вектор , что .

Теорема (Критерий Сильвестра). Справедливы следующие утверждения:

Квадратичная форма   положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы  положительны.

Квадратичная форма   отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы  четного порядка положительны, а главные миноры матрицы  нечетного порядка отрицательны.

Доказательство: Докажем первое утверждение.

Необходимость. Дано, что   положительно определена. Покажем, что все угловые миноры матрицы  отличны от нуля. Допустим обратное, и пусть . Тогда согласно Лемме найдется такой ненулевой вектор , что . Однако это противоречит положительной определенности квадратичной формы.


Практикум по теме «Тройной интеграл»