Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Найти косинус- и синус-преобразования Фурье функции

.

Решение.

, следовательно, используя формулу для вычисления циклического интервала, получим

 .

Аналогично

  .

Если теперь к полученным функциям применить обратные косинус- и синус-преобразования Фурье, то найдем

и

Применяя косинус- и синус-преобразования Фурье, можно получить таблицу значений несобственных интегралов, зависящих от параметра. Однако основное назначение косинус- и синус-преобразований Фурье состоит в применениях к решению задач математической физики.

6. Найти функцию , если .

Решение. Функция , как это видно из представленного уравнения, является синус-преобразованием Фурье функции . Поэтому и на основании формулы обратного синус-преобразования Фурье находим

.

7. Вычислить интеграл .

Решение. Замечая, что , можем записать

.

Если ввести функцию  то предыдущее равенство примет

вид , т.е.

ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Представить интегралом Фурье функции:

1.

Ответ: .

2.

Ответ: .

3.

Ответ: .

4.

Ответ: .

5. Найти косинус-преобразование Фурье функции

Ответ: .

6. Найти синус-преобразование Фурье функции .

Ответ: .

7. Найти функцию , если .

Ответ: .

8. Вычислить интеграл .

Ответ:

Итак, матрица  удовлетворяет условию Якоби, поэтому можно построить систему векторов Якоби , которая является каноническим базисом , причем выражение – ее канонический вид в базисе . Теперь из положительной определенности квадратичной формы и первого утверждения доказанной ранее теоремы следует, что , и значит, что .

Достаточность. Если , то угловые миноры матрицы  отличны от нуля, и можно построить канонический базис квадратичной формы , в котором – канонический вид квадратичной формы . Поскольку , то  положительно определена.

Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

 

Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго прядка

В общем случае кривая второго порядка в базисе  описывается уравнением . Ее первые три слагаемые образуют квадратичную форму  с матрицей:

.

Задача о приведении кривой   к каноническому виду сводится к задаче о приведении к каноническому виду квадратичной формы  этой кривой.

Пусть  и  – собственные значения матрицы , а  и  – ортонормированные собственные векторы матрицы , соответствующие собственным значениям  и .

Ортонормированные векторы   и  называются главными направлениями этой кривой.

Пусть  является матрицей перехода от ортонормированного базиса  к ортонормированному базису .

Тогда ортогональное преобразование:

приводит квадратичную форму   к каноническому виду , а уравнение кривой – к виду  в прямоугольной декартовой системе координат , оси которой направлены вдоль векторов , а начало совпадает с точкой  системы координат .

Выделив в этом уравнении полные квадраты, получим , где  – некоторые числа. Осуществив параллельный перенос системы координат  в новое начало , получим канонический вид уравнения   в системе координат . В зависимости от чисел  эта кривая будет эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых, точкой или мнимой кривой.

Контрольные вопросы к лекции №12

Понятие квадратичной формы.

Построение матрицы квадратичной формы.

Канонический и нормальный вид квадратичной формы.

Канонический базис квадратичной формы и приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Канонический базис Якоби.

Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.


Практикум по теме «Тройной интеграл»