Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Преобразование Фурье

Интегральную формулу Фурье можно записать в виде

 . (23)

Это есть комплексная форма интеграла Фурье. Введем функцию

 , (24) то согласно (23) получим

 . (25)

Переход от  к  по формуле (24) называется прямым преобразованием Фурье. Восстановление  по  с помощью формулы (25) называется обратным преобразованием Фурье. Функция  называется спектральной функцией или спектральной плотностью сигнала . Функция   называется амплитудным спектром, функция   называется фазовым спектром функции .

  и  - спектральные характеристики сигнала  соответственно амплитудная и фазовая  - четная, а  - нечетная функция.

.

Рассматривая интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье при , можно заметить, что спектральные линии в пределе сливаются. Поэтому амплитудный спектр непериодической функции будет сплошным и его изображают непрерывной линией.

Формулы (24) и (25) показывают, что если известна спектральная плотность сигнала , то можно восстановить сигнал , и, наоборот, по известному сигналу  можно определить его спектральные характеристики. Таким образом, описания процессов временными функциями (сигналами) и спектральными функциями равноправны. При решении конкретных задач, связанных с распространением сигналов, используют ту или иную форму представления, исходя из простоты математического анализа.

Рассмотрим важные для практики примеры нахождения спектральной плотности и спектральных характеристик непериодических сигналов.

Единичная функция  изображается графиком, как показано на рис. 16.

Единичная функция определяется следующим образом: . Если попытаться вычислить спектральную плотность единичной функции “напрямую”, возникает затруднение, связанной с тем, что эта функция не является абсолютно интегрируемой.

В этом случае умножают заданную функцию на затухающую экспоненту . Вычислив спектральную плотность функции , искомую спектральную плотность находят предельным переходом при .

  .

Таким образом, амплитудная характеристика единичной функции  изображается графиком, как показано на рис. 17.

 

 

w 

 Рис. 17 

Прямоугольный импульс.

Сигнал, определяемый выражением:

находит широкое распространение как в технике, так и в теории сигналов и цепей. Прямоугольный импульс высотой , длительностью  изображен на рис. 18.

 

 h 

 -t/2 0 t/2

 Рис. 18

 Применяя формулу (24), находим спектральную плотность этого импульса.

.

 


 Далее на рис. 19 представлены графики спектральной плотности, амплитудного и фазового спектров прямоугольного импульса. На графике фазового спектра каждая перемена знака  учитывается приращением фазы на .

 

   

    

 2p

    p 

   w w -p    w

 Рис. 19

 
3. Треугольный импульс.

 

 

 h

 -t/2  0 t/2 t

 Рис. 20

 График функции представлен на рис. 20.

 Решение. Вычисляем спектральную плотность .

 

 .

 График спектральной плотности  изображен на рис. 21.

 

 

 

 

 0    

 Рис. 21

Системы линейных уравнений

Основные понятия:

система линейных уравнений; решение системы линейных уравнений; совместная система линейных уравнений; определенная система линейных уравнений; эквивалентные системы линейных уравнений; матрица системы; расширенная матрица системы линейных уравнений; теорема Кронекера-Капелли; правило Крамера; метод Гаусса; однородная система линейных уравнений; разрешенная переменная; набор разрешенных переменных; свободные переменные.

Основные понятия

Для исследования процессов функционирования экономики, при построении математических моделей конкретных задач, возникающих перед менеджером в процессе его деятельности, в ряде случаев используются системы линейных уравнений. Так, например, при межотраслевом анализе – изменение объема выпуска отрасли при фиксированном коэффициенте прямых затрат в случае изменения спроса необходимо искать путем решения системы линейных уравнений, которая является моделью изучаемого процесса.

Нахождение решений системы линейных уравнений может быть осуществлено различными методами. Выбор метода зависит от рассматриваемой задачи и соответствующей математической модели.
В ряде случаев необходимо лишь знать – существует ли решение рассматриваемой системы.

Цель данного раздела – исследовать совместность системы линейных уравнений и дать некоторые методы их решения. Эти методы позволяют найти точное решение системы. Кроме этого, существуют методы, позволяющие находить приближенные решения, например, метод Якоби, метод Гаусса-Зейделя, метод пошагового агрегирования. В этом разделе они не рассматриваются.

Рассмотрим совокупность уравнений:

,

(13.1)

где  ‑ действительные числа, а  ‑ неизвестные. Эту совокупность называют системой линейных уравнений с  неизвестными, числа  ‑ коэффициенты системы (1),  ‑ свободные члены. Упорядоченный набор  действительных чисел   называется решением системы (13.1), если после подстановки в каждое из уравнений (13.1) вместо  чисел , это уравнение превращается в тождество.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения.

Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если у нее есть, по крайней мере, два различных решения.

Две системы с  неизвестными называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Матрица , составленная из коэффициентов системы (13.1), называется матрицей системы.

Обозначив через , систему (13.1) можно записать в виде матричного уравнения:

(13.2)

Матрица , полученная приписыванием к матрице  справа столбца свободных членов системы (13.1), называется расширенной матрицей системы (13.1).

При исследовании системы (13.1) ищут ответ на следующие три вопроса:

когда система совместна;

если система совместна, то определена ли она;

как отыскать ее решения.


Практикум по теме «Тройной интеграл»