Математика Лекции и примеры решения задач Физический смысл дифференциала. Производная сложной функции Раскрытие неопределенностей Ряды Фурье Преобразование Фурье Двойной интеграл Векторная алгебра

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Колоколообразный импульс.

 , . Этот импульс совпадает по форме с графиком нормального (гауссовского) закона распределения вероятностей и называется также гауссовским импульсом. Колоколообразный импульс и его спектральная плотность изображены на рис. 22.

 

 

 0 t w

 Рис. 22

 Будем находить спектральную плотность данного импульса. По формуле (24) имеем

 .

 Для вычисления интеграла удобно в подынтегральной функции дополнить показатель степени до квадрата суммы

  ,

где величина d определяется из условия 

 

 , т.е. .

Таким образом, выражение для  приводится к виду

 

 .

Перейдем к новой переменной , получим

 .

Так как , то окончательно , где ,

.

  Полученный результат имеет важное значение для теории сигналов. Оказывается, что гауссовский импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно совершить замену t на  и наоборот.

5. Волновой цуг. Так называют функцию, определяемую равенством:

 
 

 

 

  t

 Рис. 23

График функции представлен на рис. 23.

Рассматриваемый сигнал играет в теории связи большую роль. Находим его спектральную плотность.

.

ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

 Найти спектральные плотности и спектральные характеристики следующих непериодических сигналов.

 1. Косинусоидальный импульс.

 

 Ответ:

 2. Экспоненциальный импульс.

 

 Ответ:

 3. Линейно-экспоненциальный импульс.

 

 Ответ:

 4.

 Ответ:

 5.

 Ответ:

Теорема. Если  и  – два различных собственных значения симметрической матрицы , то соответствующие им собственные векторы  и  удовлетворяют соотношению , т.е. они ортогональны.

Таким образом, собственные значения симметрической матрицы различны, а, значит, если пронормировать соответствующие им собственные векторы, то система собственных векторов матрицы  станет ортонормированной, а матрица , столбцами которой будут эти векторы, станет ортогональной.

Ортогональной называется вещественная квадратная матрица, у которой соответствующая ей система векторов-столбцов является ортонормированной системой евклидова пространства.

Теорема. Матрица   является ортогональной тогда и только тогда, когда .

В соответствии с этой теоремой , и преобразование  эквивалентно преобразованию

При определении характеристических чисел матрицы было введено новое понятие характеристического многочлена. Подробный анализ понятия многочлена приводится в следующем разделе.

Контрольные вопросы к лекции №10

Переход к новому базису и понятие матрицы перехода.

Понятие линейного оператора.

Собственные значения и собственные вектора матрицы.

Операция диагонализации матрицы и понятие ортогональной матрицы.


Многочлены

Основные понятия:

многочлен; степень многочлена; коэффициенты; старший коэффициент; сложение многочленов; умножение многочленов; делитель; частное; остаток; корень многочлена; кратность корня многочлена; линейные многочлены; схема Горнера; рациональная дробь; правильная рациональная дробь; простейшие (или элементарные) дроби; метод неопределенных коэффициентов.

Основные понятия

Многочленом от переменной  степени  называется выражение вида:

,

где  ‑ действительные или комплексные числа, называемые коэффициентами,  ‑ натуральное число,  ‑ переменная величина, принимающая произвольные числовые значения.

Если коэффициент   при  многочлена  отличен от нуля, а коэффициенты при более высоких степенях равны нулю, то число  называется степенью многочлена,  – старшим коэффициентом, а  – старшим членом многочлена. Коэффициент  называется свободным членом. Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то многочлен называется нулевым и обозначается 0. Степень нулевого многочлена не определена.

Два многочлена называются равными, если они имеют одинаковую степень и коэффициенты при одинаковых степенях равны.

Суммой многочленов   и ,  называется многочлен , где

Произведением многочленов   и  называется многочлен:

где .

Легко проверить, что сложение и умножение многочленов ассоциативно, коммутативно и связаны между собой законом дистрибутивности.

Многочлен  называется делителем многочлена , если существует многочлен  такой, что .


Практикум по теме «Тройной интеграл»